Зертханалық жұмыс № 5
Тақырыбы: «Логикалық алгебраның негізгі ұғымдары. Логикалық (бульдік) айнымалы. Логикалық функция. Логикалық алгебраның элементар функцияларының қасиеттері»
Мақсаты: Математикалық логика элементтері мен функцияларын білу. Логикалық алгебраның элементар функцияларының қасиеттерін есеп шығаруда қолдана алу.
Математикалық логика элементттерi
ЭЕМ-да ақпараттарды өңдеу мен iздеу принциптерi математикалық логика заңдарына негiзделедi, өйткенi компьютерлер — бұл жұмыс iстеу принциптерi екiлiк логиканың элементар заңдарына базаланатын автоматтық құрылғы.
Барлық буындағы есептеу машиналары 0 және 1 екi мәнiн (бит) қабылдайтын логикалық элементтер мен жад элементтерiнен тұрған және тұрады. ЭЕМ-дағы барлық ақпараттарды өңдеу, барлық логикалық блоктары, логикалық схемалары мен құрылғылары математикалық логиканың заңдары мен принциптерiне сүйенедi.
Логика — бұл пiкiрдiң, пайымдаудың және дәлелдеудiң дұрыстығын зерттейтiн ежелгi ғылым. Пiкiр мысалдары: «қар ақ», «2 х 2 = 5», «Жер домалақ», «информатика — жалған ғылым», «Интернет — халықаралық желi».
Математикалық логика — бұл дәлелдеу техникасын оқытатын пән. Компьютер математика сияқты анықтаманың, сипаттаудың, дәлелдеу мен негiздеменiң қаталдығы мен дәлдiгiн талап етедi. Бұл компьютердiң кәдiмгi қалыпты адамдардан айырмашылығы.
Есептеу операциясы мен математикалық пiкiрдiң кәдiмгi адамдардың әрекетi мен пiкiрлерiнен айырмашылығы мынада. Есептеу операциясы мен математикалық пiкiр барлық уақытта бiр мәндi түсiндiрудi алға қояды, сол кезде адам әрекетi мен тұжырымы сияқты көп мәндi көркем түсiндiруге (трактовка) жол бередi.
Пiкiр математикада және практикада ақиқат немесе жалған болуы мүмкiн. Практикада пiкiрдiң ақиқаттығы немесе жалғандығы нақтылықпен салыстыру арқылы тексерiледi, ал математикада — дәлелмен терiске шығару немесе дәлелдеу.
Ақиқат пiкiр мысалы — «қар ақ». Жалған пiкiр мысалы — «генетика — жалған ғылым». Ақиқаттылығы әлi күнге соңына дейiн тағайындалмаған пiкiрлердiң мысалдары: «машина ойлана алады», «Марста өмiр бар», «информатика — ғылым».
ЭЕМ-ның жұмысы автоматтық құрылғы ретiнде тек қана командалардың, деректердi өңдеу программалары мен алгоритмдерiнiң орындалуының бiр мәндi ережесiне негiзделген. Компьютер, сонымен бiрге барлық есептеу құрылғыларының, жүйелер мен желiлердiң жұмысы көз жеткiзуге, яғни олардың жұмыстарының қатал бiр мәндi тексерiлуiне жол бередi.
Есептеу машиналары мен құрылғылардың барлықкүрделi логикалық элементтерi мен блоктары «ЖӘНЕ» (И, AND), «НЕМЕСЕ» (ИЛИ, OR) және «ЕМЕС» (НЕ,NOT) логикалық операцияларының көмегiмен қарапайым логикалық элементтерден құрастырылады. Математикалық логикада бұл операциялар үшiн келесi белгiлеулер қолданылады — & («ЖӘНЕ»), V («НЕМЕСЕ») и — ¬,¯ («ЕМЕС»).
Осы логикалық байламдарды (связка) диаграммамен былай көрсетуге болады:
Терiске шығару ¬А(А емес)бастапқы пiкiр А-ның ақиқаттығына байланысты ақиқат немесе жалған болады. Емес (не) терiске шығаруының логикалық байланыстырушы ретiндегi қасиетiн ақиқаттық кестесiмен сипаттауға болады.
Терiске шығару қасиеттерi:
1: Егер пiкiр ақиқат болса, терiскешығару жалған.
2: Егер пiкiр жалған болса, терiскешығару ақиқат.
Ақиқаттық кестесi:
-
А
¬А
а
ж
ж
а
Терiске шығарудың рөлiн сұрату тiлiнде түсiну үшiн оларды фактiге негiзделген (позитивтi) формада өрнектей алу маңызды. Математикалық теңсiздiктердi терiске шығару мен олардың эквиваленттi позитивтi формулировкасы мысалдарын берейiк:
емес(х = 0) ≡ (х ≠ 0); емес(х ≠0) ≡ (х = 0);
емес(х > 0) ≡ (х ≤ 0); емес(х < 0) ≡ (х ≥0);
емес(х ≥0) ≡ (х < 0); емес(х ≤ 0) ≡ (х > 0).
Математикалық пiкiрлердi, тұжырымдарды және терiске шығаруды жалпы түсiну үшiн математика мен математикалық логиканың (жеке жағдайда) жалпы заңдары туралы түсiнiк болу керек. Математикалық логиканың жалпы заңдардың iшiндегi бiрiншiсi –
Екi еселi терiске шығару (Закон двойного отрицания): ¬ (¬А) = А.
Терiске шығаруды терiске шығару бастапқы тұжырыммен тепе-тең.
Және (и) логикалық байлам (связка) математикалық логикада конъюнкция деп аталады. Конъюнкцияның ақиқаттық кестесi:
Конъюнкция қасиеттерi:
1:А менВ екi пiкiр де ақиқат болғанда, А менВ конъюнкциясы ақиқат.
2: А менВ пiкiрлерiнiң ең болмағанда бiреуi жалған болса, А менВ конъюнкциясы жалған.
-
А
В
А & В
а
а
а
а
ж
ж
ж
а
ж
ж
ж
ж
Немесе (или) логикалық байламы математикалық логикада дизъюнкция деп аталады. Дизъюнкцияның ақиқаттық кестесi:
Дизъюнкции қасиеттерi:
1:А мен В пiкiрлерiнiң кез клегенi ақиқат болғанда, дизъюнкция А менВ ақиқат.
2: А мен В пiкiрлерiңiң екеуi де жалған болғанда дизъюнкция А менВжалған.
-
А
В
А V В
а
а
а
а
ж
а
ж
а
а
ж
ж
ж
Деректер базасында немесе Интернет желiсiнде сұрату бойынша ақпаратты iздеудiң принциптерiн түсiну үшiн «ЖӘНЕ» (AND), «НЕМЕСЕ» (OR) және «ЕМЕС» (NOT) лигикалықоперацияларын қолданумен күрделi құрамдас сұратулардың математикалық мағынасын түсiну қажет.
Деректер базасына күрделi құрамдас сұратулардың мысалдары және олардың эквиваленттi позитивтi формулировкалары:
(белгi ≠ 0) &емес(х > 0) ≡ (белгi (0)) & (х ≤ 0);
(сан > 0) vемес(у > 0) ≡ (сан > 0) v (у ≤ 0).
Математикалық логикада дизъюнкция мен конъюнкцияны терiске шығарудың жалпы принциптерi де Морганның екi заңымен өрнектеледi:
Конъюнкцияны терiске шығару заңы:
емес(А жәнеВ) ≡ (емесА) немесе (емесВ) — пiкiрлер конъюнкцисын терiске шығару терiске шығарулардың дизъюнкциясына тепе-тең.
Дизъюнкцияны терiске шығару заңы:
емес(А немесе В) ≡ ((емесА) және (емесВ)) — пiкiрлер дизъюнкциясын терiске шығару терiске шығарулардың конъюнкциясына тепе-тең.
Логиканың берiлген жалпы үш заңын бiлу мен қолдану деректер базасына сұратудағы және бiр-бiрiмен қарым-қатынаста негативтi формулировкадан құтылдырады. Ақпараттарды компьютермен iздеудiң принциптерi мен нәтижелерiн түсiну үшiн бұл заңдарды бiлу маңыздырақ.
Интернетте сұратуда терiске шығару заңдарын тексерiп көрiңiздер және әр түрлi iздеу жүйесiнен алынған нәтижелердi түсiндiрiңiздер:
запрос: «учебник ¬ физика» — «учебник, но не по физике?»
запрос: «учебник ¬ книга» — «учебник, но не книга?»
запрос: «¬ учебник информатика» — «не учебник, но по информатике?»
запрос: «¬ (¬ учебник)» — «неверно, что это не учебник» ???
Есеп 1. Екi еселiтерiске шығару не (не А) ≡ А заңын ақиқаттық кестесi көмегiмен тексерiңiз.
Ш
А¬А¬ (¬А)
а |
ж |
а |
ж |
а |
ж |
еткi бағандарды салыстыру А тұжырымы ақиқат болған жердiң бәрiнде ¬(¬А) екi еселi терiске шығаруының да ақиқат екенiн көрсетедi. Және керiсiнше, А-ның жалған жерлерiнде ¬(¬А) екi еселi терiске шығаруы жалған. Бұдан, екi еселi терiске шығару бастапқы тұжырымға тепе-тең: не (не А) ≡ А.