7. Особенности постановки задач двумерной однофазной фильтрации.

В предыдущем разделе мы рассмотрели весьма эффективный метод решения параболических дифференциальных уравнений – метод прогонки, являющийся специальным методом исключения по Гауссу, т.е. прямым методом. Итерации в этом методе были необходимы лишь при решении уравнений с нелинейными коэффициентами.

Процессы неустановившейся фильтрации газа или жидкости в пористой среде, описывающиеся дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа, имеют много аналогов в других разделах математической физики: теории теплопроводности, диффузии и др.

При этом следует отметить, что в случае одномерных краевых задач для уравнений параболического типа имеется определенное число аналитических решений и, вообще, все эти задачи более или менее изучены.

В настоящее время имеется большое число экономичных методов для многомерных уравнений в частных производных абсолютно устойчивых и требующих порядка итераций (h- шаг сетки).

Отметим, что получение разностных уравнений аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных в многомерном случае совершенно аналогично одномерному случаю. Разница здесь лишь в том, что разложение в ряд Тейлора применено к эллиптическому оператору. Все, что было сказано об устойчивости и сходимости разностных уравнений в одномерном случае в равной мере относится и к многомерным. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать лишь неявные схемы разностных уравнений, которые являются абсолютно устойчивыми, по крайней мере, для линейных уравнений.

Заметим, что неявные разностные параболические уравнения для фиксированного момента времени являются эллиптическими разностными (сеточными) уравнениями. Поэтому методы решения эллиптических разностных уравнений применимы к уравнениям параболического типа.

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение параболического типа

(1.5.1)

Здесь под x, y- подразумеваются пространственные координаты , t-время, U-искомая функция (P или P ² в случае газа); , -коэффициенты уравнения, зависящие от координат x, y времени t и самой функции U (в линейном случае постоянные), q-мощность источника (стока), приходящейся на объем ячейки.

Применяя обычную неявную разностную аппроксимацию к (1.5.1), получим следующую систему разностных уравнений

(1.5.2)

(i, j=1,2…M, N)

где

Отметим, что рассматривается пока прямоугольная сеточная область. Легко видеть, что система (1.5.2) образует пяти-диагональную матрицу.

H i-1 j+1 i+1 F D E B i

Рис.1.2

Обычные прямые методы решения общих систем алгебраических линейных уравнений

(метод Гаусса, Жордана, Холецкого и пр.) для системы (1.5.2) непригодны, поскольку требуют порядка 0 операций (h-шаг сетки). Использование формул Крамера также исключается, т.к. для вычисления определителя N-го порядка требуется ~N! умножений.

Значительно более простыми в отношении программирования являются итерационные методы. и, несмотря на то, что они не приводят за конечное число шагов к точному решению, являются наиболее предпочтительными.

Однако простейшие итерационные методы (Гаусса-Зейделя, Якоби) сходятся сравнительно медленно (~ операций или 0( ))

В 1950 Франкел и Янг (независимо) предложили специальный итерационный метод – “экстраполяции Либмана” или “метод последовательной верхней релаксации” (Янг), которые требовали ~ 0( ) итераций. Затем появилось много работ по итерационным методам решения специальных линейных уравнений типа (1.5.2) с применением полиномов Чебышева, которые требуют также ~ 0( ) итераций. Наконец в 1955г. Шелдон предложил метод симметричной последовательной верхней релаксации, в котором сочетаются метод последовательной верхней релаксации и метод с использованием полиномов Чебышева, который требовал итераций. В том же 1955г. появился метод переменных направлений (Дуглас и Писмен и Речфорд), требующий итераций.

Все эти итерационные методы являются линейными методами в том смысле, что очередное приближение является линейной функцией предыдущего приближения.

Есть еще одна группа итерационных методов – вариационные методы: метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов. Эти методы построены на принципе минимизации соответствующей квадратичной формы.

Мы не будем рассматривать все эти итерационные методы, а остановимся более подробно на методе переменных направлений и на его дальнейшей модификации - суммарной аппроксимации (ЛОС) Самарского А.А.

8.Методы решения двумерных задач фильтрации.(+7)

Прежде чем перейти к методу переменных направлений рассмотрим метод матричной прогонки [14, 25].

Рассмотрим вновь уравнение (1.5.2), которое применено к прямоугольной области (M*N) На границе задается равенство функции нулю, т.е.

(1.5.3)

Тогда в матричной форме можно записать(1.5.2) так,

(1.5.4) , где

; ;

Пусть решение ищется в виде:

(1.5.5)

По аналогии с обычной прогонкой имеем:

,

, (1.5.7)

( i= M-1, …, 1)

Метод матричной прогонки по сравнению с обычным методом прогонки относительно громоздок, т.к. требует обращения вспомогательных матриц. Он, вообще говоря, применим лишь для вытянутых прямоугольных областей с малым числом узлов по одной оси.

Метод переменных направлений (9вопрос).