2.Понятие устойчивости и сходимости разностных уравнений. Условие устойчивости явной и неявной разностной схемы.

Использование сеточных методов для решения краевых задач приводит к рассмотрению вопросов сходимости и устойчивости их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана:

1) с погрешностью аппроксимации дифференциальных уравнений и соответствующих краевых условий конечно-разностными уравнениями;

2) с погрешностью решения на каждом временном слое .

Если сеточный метод, дает такое решение, которое при изменении шагов ∆x и ∆t (при , ) (причем , т.е. пространственные приращения стремятся к нулю по определенной зависимости от временного приращения ∆t, когда последнее стремится к нулю), стремится к точному решению задачи, то такой метод называется сходящимся, а конечно-разностное уравнение согласуется с соответствующими дифференциальным уравнением в частных производных.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчитанных шагов по времени j погрешность вычислений (из-за ошибок округления) стремится к нулю, или хотя бы не возрастает (остается ограниченной), то метод называется устойчивым.

Необходимо заметить, что устойчивость в смысле изложенного выше определения не опирается на дифференциальное уравнение, подлежащее численному интегрированию, а является свойством исключительно системы разностных уравнений.

1.2.3.1. Если рассматривать разностные методы решения дифференциальных уравнений с точки зрения линейных операторов в векторном пространстве, то всякое решение на временном слое , можно выразить через решение на временном слое , применив к последнему, оператор, называемый матрицей (множителем) перехода от одного временного слоя к другому. При этом устойчивость требует, чтобы, матрица перехода была равномерно ограниченной.

Необходимым условием устойчивости по Нейману является условие, что , при ; и всех , где – сетка пространства, – радиус спектра матрицы [22].

1.2.3.2. Собственное значение матрицы перехода связано с соотношением величин шагов и

В случае явного уравнения (1.2.3) решение является устойчивым, если существует следующее соотношение между пространственными и временными шагами:

(1.2.5)

В случае неявного разностного уравнения (1.2.4) никаких ограничений на величины шагов и не накладываются, т. е. говорят, что уравнение (1.2.4) абсолютно устойчиво.

1.2.4. Однако это не означает, что при пользовании неявным методом допустимы любые шаги на осях x и t.

Здесь мы сталкиваемся с понятием ошибки аппроксимации.

Действительно, вычтем из (1.2.1) (1.2.2) и получим после преобразования выражение:

(1.2.6)

1.2.6. Использование явного сеточного уравнения (1.2.3) возможно в том случае, если соблюдается условие (1.2.5). Это ограничение на шаг по времени оказывается очень жёстким. Для соблюдения условия устойчивости шаг t приходится брать очень малым. Это увеличивает общее число шагов по времени, а, следовательно, и общий объём вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на достаточную простоту явного сеточного метода, его использование на практике весьма ограничено.

При неявном сеточном методе прямых ограничений на величины шагов во времени и пространству не имеется. Однако для получения заданной степени точности решения задачи приходится уделять определённое внимание выбору шагов по времени и пространству.

Выбор шага по пространственной переменной на практике часто осуществляется экспериментальным путём. Для этого на ЭВМ проводятся вычисления с некоторыми шагами x. Затем вычисления проводятся с шагом x/2. Если оказывается, что решения отличаются на величину меньшую заданной погрешности , то шаг x считается незавышенным для достижения заданной точности. В противном случае делается просчёт с меньшим шагом, x/4 и т.д.

3.Виды разностных схем. Способы выбора шага по времени и в пространстве.

_,

В случае явного уравнения (1.2.3) решение является устойчивым, если существует следующее соотношение между пространственными и временными шагами:

_{- условие улучшения ошибки аппроксимации}

Использование явного сеточного уравнения (1.2.3) возможно в том случае, если соблюдается условие (1.2.5). Это ограничение на шаг по времени оказывается очень жёстким. Для соблюдения условия устойчивости шаг t приходится брать очень малым. Это увеличивает общее число шагов по времени, а, следовательно, и общий объём вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на достаточную простоту явного сеточного метода, его использование на практике весьма ограничено.

При неявном сеточном методе прямых ограничений на величины шагов во времени и пространству не имеется. Однако для получения заданной степени точности решения задачи приходится уделять определённое внимание выбору шагов по времени и пространству.

Выбор шага по пространственной переменной на практике часто осуществляется экспериментальным путём. Для этого на ЭВМ проводятся вычисления с некоторыми шагами x. Затем вычисления проводятся с шагом x/2. Если оказывается, что решения отличаются на величину меньшую заданной погрешности , то шаг x считается незавышенным для достижения заданной точности. В противном случае делается просчёт с меньшим шагом, x/4 и т.д.

Один из алгоритмов увеличения шага по времени таков. Рассчитываются с малым начальным шагом t по времени 2 временных шага. Затем с шагом просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения на момент времени сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность , то дальнейший счет ведется с шагом . В противном случае расчет ведется с шагом и т.д.

Часто используя особенности самого решения и геометрии, можно сделать так, чтобы приращение было более высокой степени точности (замена обычных координат на логарифмические).

В заключении приведем ряд конечно-разностных схем применительно к уравнению (1.2.1)

,  = const > 0

	Мнемонические схемы	Разностные уравнения и погрешность аппроксимации
1		Явная схема устойчива, если
2		Неявная схема всегда устойчива
4		Неявная схема всегда устойчива
5		при устойчива, если , при всегда устойчива.
7		- схема всегда неустойчива.