19. Особенности задания начальных и граничных условий в случае пространственных задач фильтрации

Если границы пласта непроницаемы, т.е. поток через такую грани­цу равен нулю, то в рассматриваемом случае это означает, что

для i=1, 2, … M; j= 1, 2, … N

для i=1, 2, … M; k= 1, 2, … Kz

для j=1, 2, … N; k= 1, 2, … Kz

На скважинах граничные условия можно задавать в виде плотности /интенсивности/ источника или стока, приходящейся на один узел раз­ностной сетки /как это сделано в системе (3.1.3) /.

В случае если не все внешние границы пласта непроницаемы, можно задать величину перетока флюида через внешнюю границу пласта при помощи источников, расположенных в граничных узлах пласта. На­пример, плотность такого источника по воде можно определить по фор­муле:

(3.1.13)

где - давление в водяной фазе на границе пласта в момент

времени / n+1 /; - значение давления на момент времени /n + 1 / в водяном пласте, которое можно определить с помощью уравнения ма­териального баланса для водоносного пласта. При этом строение водо­носного пласта предполагается известным, а общий приток воды к месторождению определяется как

При задании начальных условий необходимо учитывать, что флюиды в пласте первоначально находятся при капиллярно-гравитационном рав­новесии. Для его расчета необходимо знать вид капиллярных кривых для пород рассматриваемого месторождения, /Если таких данных нет, то приходится задаваться гипотетическими зависимостями с тем усло­вием, что размеры переходных зон от одного флюида к другому равня­ются величине, которая определяется из промысловых данных/. Необхо­димы также данные о величинах остаточной нефтенасыщенности, водонасыщенности и газонасыщенности.

На рис.3.3 приведено примерное распределение по толщине пласта флюидов, находящихся в условиях капиллярно-гравитационного равнове­сия. Как следует из рассмотрения рис.3.3, весь пласт может быть раз­делен на пять зон:

- Зону газовую, где нефть и вода содержатся как остаточные.

- Переходную зону между газом и нефтью, где насыщенности газа и нефти подчиняются капиллярно-гравитационному равновесию, а водонасыщенность равна остаточной.

- Зону нефтяную, где газ и вода присутствуют как остаточные, а нефтенасыщенность максимальна.

- Переходную зону между нефтью и водой, где насыщенности нефти и воды подчиняются капиллярно-гравитационному равновесию, а газо­насыщенность равна остаточной.

- И, наконец, пятую зону - водяную, где насыщенность по воде максимальна, а газ и нефть присутствуют как остаточные.

С помощью капиллярных кривых для данного месторождения опреде­ляются величины капиллярного давления, соответствующие величинам остаточной водонасыщенности и газонасыщенности, а также величинам максимальной насыщенности по газу и по воде.

Пусть для определенности - величина капиллярного давления при остаточной газонасыщешюсти; - величина капиллярного давле­ния при максимальной насыщенности по газу; - величина капилляр­ного давления при максимальной водонасыщенности; . - величина капиллярного давления при остаточной водонасыщенности.

Для определения начальных значений давлений и насыщенностей флюидов в пласте поступаем следующим образом. Сначала, определяем границы зон, которые выделяются на рис.3.3.

Следует отметить, что задание начальных условий можно производить как снизу вверх, так и сверху вниз согласно рис.3.3. Рассмотрим спо­соб задания начальных условий сверху вниз.

Толщина газовой зоны от кровли пласта до начала переходной зо­ны задается из промысловых данных и тем самым определяется /см. рис.3.3/.

Величина определяется из условий капиллярно-гравитационного равновесия по формуле:

(3.1.14)

где - плотность газовой фазы; - плотность нефтяной фазы. /Остальные обозначения см. выше/.

Давление в газовой фазе на границе переходной зоны определяется по формуле:

(3.1.15)

где - давление в газовой фазе на кровле пласта, т.е. при .

Давление в нефтяной фазе на границе переходной зоны, т.е. при определяется так:

(3.1.16)

где - давление в газовой фазе в точке .

Толщина нефтяной зоны, R1, задается по промысловые данным и поэтому величина

(3.1.17)

Значение , а, следовательно, и толщины переходной зоны между нефтью и водой при условии капиллярно-гравитационного рав­новесия определяется по формуле:

(3.1.18)

Значение давления в нефтяной фазе на границе с нефтяной зоной определяется так:

(3.1.19)

Значение давления в нефтяной фазе на границе с переходной зо­ной между нефтью и водой, т.е. при определяется по формуле

(3.1.20)

Давление в этой же точке в водяной фазе определяется следующим образом:

(3.1.21)

Величина давления в водяной фазе на границе между водяной зо­ной и переходной определяется так:

(3.1.22)

После того, как границы зон и давления на них определены, глу­бины узлов разностной сетки, моделирующей пласт, сравниваются с этими границами и рассчитываются фазовые давления в них.

При т.е. в газовой зоне фазовые давления определяются по формулам:

(3.1.23)

Если , то узел находится в переходной зоне между газом и нефтью, и фазовые давления определяются по формулам:

(3.1.24)

В нефтяной зоне, , фазовые давления определяются следующим образом:

(3.1.25)

При , узел разностной сетки расположен в переходной зоне между нефтью и водой, и фазовые давления определя­ются так:

(3.1.25₁)

В водяной зоне, и фазовые давления определяются:

следующим образом: