12. Теории прочности

В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от соотношения между тремя главными напряжениями (₁,₂,₃). Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения.

_max= ₁ []. Главный недостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не применяется.

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие удлинения. _max= ₁ []. Учитывая, что ₁= ,  — коэффициент Пуассона, получаем условие прочности

_эквII= ₁ — (₂ + ₃) []. _экв — эквивалентное (расчетное) напряжение. В настоящее время теория используется редко, только для хрупких материалов (бетон, камень).

3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения _max  [], _max= , условие прочности: _эквIII= ₁ — ₃ []. Основной недостаток – не учитывает влияние ₂.

При плоском напряженном состоянии: _эквIII=  []. При _y=0 получаем Широко используется для пластичных материалов.

4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии изменения формы. u_ф[u_ф]. .

Учитывает, все три главных напряжения. При плоском напряженном состоянии: . При _y=0,

13. Напряжение в брусе при поперечном изгибе

В случае поперечного изгиба в сечение бруса возникает не только изгибающий момент , но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения . Следовательно , в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные , но и касательные напряжения.

Касательные напряжения τ сопровождаются появлением угловых деформаций γ.

τ = G* γ

G – модуль упругости 2-го рода.

Поэтому , кроме основных смещений , свойственных чистому изгибу , получаются некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом.

При поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения бруса не остаются плоскими, они искривляются.

Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не скажутся.(Поперечная сила Q не меняется по длине бруса)

Формулы для чистого изгиба , будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба.

σ = M_uy/J_z

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии

σ_max = M_uy _max/J_z

Отношение J_z/y_max называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через W_х : W_х = J_z/y_max

Таким образом,

σ_max = M_u/ W_х

Эта формула является основной при расчете на прочность бруса при поперечном изгибе.

Для бруса прямоугольного сечения J_z = bh³/12

Для бруса круглого сечения J_z = πD⁴/64

Формулы для чистого изгиба дают некоторую погрешность h/l по сравнению с единицей,

Где h – размер поперечного сечения в плоскости изгиба,

L - длина бруса

Закон Гука при кручении стержней круглого поперечного сечения выражается формулой

где Т – крутящий момент, Ψ – угол закручивания, возникающий под действием этого момента, l – расстояние между закручиваемыми сечениями,

I_ρ – полярный момент инерции образца.