2.3. Метод симметричных составляющих

2.3.1. Симметричные составляющие трехфазной системы величин

Для анализа и расчетов несимметричных режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин (токов, напряжений, магнитных потоков) в виде суммы трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются ее симметричными составляющими. Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования фаз и называются системами прямой, обратной и нулевой последовательностей.

О бозначим трехфазную систему величин (токов, напряжений, магнитных потоков) для общности буквами А, В и С. Величины, относящиеся к системам прямой, обратной, и нулевой последовательностей, отметим соответственно индексами 1, 2 и 0. На рис. 3.1 показан пример векторных диаграмм симметричных составляющих всех трех последовательностей.

Система прямой последовательности имеет порядок следования фаз А, В, С. Система обратной последовательности имеет порядок следования фаз А, С, В. Система нулевой последовательности состоит из трех одинаковых величин совпадающих по фазе.

Для этих трех систем можно записать уравнения, с помощью фазного множителя так:

(3.1)

Докажем теперь, что любую несимметричную систему векторов А, В и С можно разложить на симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей. Если это имеет место, то

(3.2)

Выразим в этих предполагаемых равенствах все векторы симметричных систем через векторы , и , пользуясь соотношениями (3.1):

. (3.3)

Получены три уравнения, из которых однозначно можно определить векторы , и , что и доказывает возможность разложения заданной несимметричной системы векторов А, В и С на три симметричные системы.

После сложения трех уравнений в системе (3.3) получим

откуда с учетом найдем, что

(3.4)

Умножая второе уравнение системы (3.3) на а и третье уравнение на а² и затем складывая уравнения полученной систем, находим, что

(3.5)

Умножая второе уравнение системы (3.3) на а² и третье уравнение на а и затем складывая уравнения полученной систем, получаем

(3.6)

2.3.2. Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих токов и напряжений

В нейтральном проводе ток равен сумме линейных токов и, следовательно, тройному значению составляющей тока нулевой последовательности [см. (3.4)].

Сумма линейных напряжений равна нулю, поэтому линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей фазных напряжений приемника, соединенного звездой, однозначно связаны с соответствующими симметричными составляющими подведенных к нему линейных напряжений. Отсюда следует, что фазные напряжения различных приемников, соединенных звездой, при одних и тех же линейных напряжениях имеют одинаковые симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей и могут отличаться друг от друга только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности.

Если при несимметричном режиме ток в одной или двух фазах цепи отсутствует, сумма симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю. Поясним сказанное примерами.

В схеме, показанной на рис. 3.3, фазы В и С разомкнуты, . Применяя (3.4)-(3.6), получаем

На рис. 3.4 изображен вектор тока и построены векторные диаграммы для систем симметричных составляющих токов всех трех фаз. Там же проведено геометрическое суммирование векторов симметричных составляющих токов, показывающее, что

В схеме рис. 3.5 токи ; . По формулам (3.4)-(3.6) получим

На рис. 3.6 показаны векторная диаграмма токов и векторные диаграммы симметричных составляющих токов всех трех фаз. Геометрическое суммирование векторов показывает, что

Симметричные составляющие токов и напряжений могут быть не только вычислены, но и измерены при помощи специальных электрических измерительных схем, называемых фильтрами симметричных составляющих токов и напряжений. Эти фильтры получили широкое применение в релейной защите электроэнергетических цепей.