2.2. Основные матричные уравнения электрических цепей

Законы Кирхгофа и Ома в матричной форме

Узловая матрица инциденций даёт возможность записать в матричной форме первый закон Кирхгофа:

(2.1)

Матрица позволяет определить матрицу напряжений ветвей по известной матрице напряжений узлов:

. (2.2)

С помощью контурной матрицы инциденций представляется возможным записать в матричной форме второй закон Кирхгофа

, (2.3)

Последние две матрицы можно выразив как

и , (2.4)

Заметим, что матрица сопротивлений ветвей всегда является квадратной, однако диагональной она будет лишь при отсутствии в схеме индуктивных связей.

Матрица позволяет определить матрицу токов ветвей по известной матрице контурных токов:

.

П одставляя в (2.3) и из (2.4), получим второй закон Кирхгофа в более подробной матричной записи:

, или

, или ,

где

. (2.5)

У равнение (2.5) вырежет закон Ома в матричной форме при отсутствии в схеме источников тока, то есть для обобщённой схемы, показанной на рис. 2.2.

Если в исходной схеме имеются источники тока, то обобщённая схема будет иметь вид, показанный на рис. 2.2, а матричная форма записи закона Ома примет вид

(2.6)

или

. (2.7)

Если в схеме отсутствуют источники ЭДС, то уравнение (2.3) будет иметь вид

. (2.8)

Подставляя (2.2) в (2.8), получим

. (2.9)

Так как (2.9) справедливо при любой матрице , то

. (2.10)

Пользуясь принципом дуальности, легко показать, что

. (2.11)

Условия (2.10) и (2.11) отражают топологические свойства цепей.

Обобщённое уравнение состояния цепи

Обратимся к уравнениям (2.1) и (2.3), совместная запись которых полностью характеризует состояние электрической цепи:

Очевидно, что матрицы и этих уравнений имеют одинаковое число столбцов, равное числу ветвей схемы. Сумма их строк также равна числу ветвей. Объединив матрицы и , удаётся получить квадратную неособенную матрицу

.

Объединив оба уравнения состояния, получим

или сокращенно

.

Уравнение (2.20) называется обобщённым уравнением состояния цепи. Такая запись позволяет получить решение

.

С точки зрения сложности нахождения матрицы токов, такое решение не является наиболее удачным, так как порядок матрицы достаточно высок. Однако полученное в общем виде решение можно использовать для дальнейших обобщённых исследований.

Обобщённое контурное уравнение

Умножая слева на уравнение (2.6), получим

. (2.12)

Учитывая (2.8) в уравнении (2.12), будем иметь

.

Выражая через контурные токи, получим

. (2.13)

Тройное матричное произведение в левой части уравнения (2.13) является квадратной матрицей и называется матрицей контурных сопротивлений

. (2.14)

Уравнение

(2.15)

представляет матричное (обобщённое) уравнение контурных токов.

При анализе цепи с помощью обобщённого контурного уравнения предлагается следующий порядок действий.

1. Выбирают произвольное дерево схемы и, дополняя его хордами, устанавливают совокупность независимых контуров.

2. Нумеруют независимые контуры, выбирают положительные направления контурных токов и токов ветвей.

3. Составляют вторую матрицу инциденций .

4. Составляют матрицу сопротивлений ветвей .

5. Находят матрицу контурных сопротивлений по выражению (2.14).

6. Составляют матрицы электродвижущих сил источников напряжения и токов источников тока. В соответствии со схемой (см. рис. 2.2) ЭДС источника входит в матрицу со знаком “плюс”, если её направление совпадает с направлением тока ветви, и со знаком “минус”, если указанные направления встречны. Току источника тока придают знак “плюс”, если он уменьшает ток ветви, и знак “минус” в противоположном случае.

7. Записывают уравнение (2.15).

Если задача анализа требует определения матрицы контурных токов, то решение имеет вид

. (2.16)

8. Вычисление комплексных действующих значений токов ветвей:

.

9. Вычисление комплексных действующих значений напряжений ветвей:

.

10. Составляем уравнения баланса мощностей:

• полная комплексная мощность источников электрической энергии

;

• полная комплексная мощность приемников электрической энергии:

Обобщённое узловое уравнение

Умножая правую и левую части уравнения (2.7) слева на и учитывая, что

, получим

. (2.17)

Заменяя в (2.17) матрицу напряжений ветвей через матрицу узловых напряжений, получим:

или

, (2.18)

где – матрица узловых проводимостей, причём

. (2.19)

Выражение (2.18) является обобщённым матричным уравнением узловых напряжений.

При расчёте цепи методом узловых напряжений поступают следующим образом.

1. Выбирают базисный узел и направления токов ветвей.

2. Составляют первую матрицу инциденций .

3. Составляют матрицу проводимостей ветвей.

4. Определяют по выражению (2.19) матрицу узловых проводимостей.

5. Составляют матрицы и ; правило знаков то же, что и при использовании обобщённого контурного уравнения.

6. Записывают уравнение (2.18). Решение уравнения (2.18) имеет следующий вид:

.

7. Вычисление комплексных действующих значений токов ветвей:

8. Вычисление комплексных действующих значений напряжений ветвей:

9. Составляем уравнения баланса мощностей:

• полная комплексная мощность источников электрической энергии

;

• полная комплексная мощность приемников электрической энергии: