2.2 Матричные методы расчета линейных цепей

Анализ процессов, протекающих в цепи, начинают, как правило, с составления системы расчётных уравнений и преобразования этой системы к виду, удобному для анализа. Преобразования систем линейных уравнений, особенно высоких порядков, проще всего, производить с помощью специально приспособленного для этого математического аппарата, который называется алгеброй матриц.

Метод анализа электрических цепей, основанный на применении алгебры матриц и некоторых элементарных положений топологической теории графов, называется матричным. Этот метод обладает достаточно большими возможностями, сравнительно легко усваивается. Он позволяет в компактной форме загасать уравнения сложных электрических цепей и в ряде случаев упрощает решение задач.

Матричная алгебра даёт возможность оперировать с целыми группами (обозначаемыми определенными символами) однотипных величин, выполняя различные математические преобразования аналогично тому, как это делается в обычной алгебре.

При первом знакомстве с матричными методами может показаться, что они связаны с более трудными представлениями и требуют для освоения значительного времени. Такое ложное мнение легко рассеивается при переходе к решению конкретных задач. Становится очевидным, что матричные методы не только открывают новые возможности, но и упрощают решение многих задач.

Матричная формулировка задачи облегчает программирование её решения на ЭВМ. При этом оказывается возможным использование различных стандартных подпрограмм, составленных для выполнения отдельных операций с матрицами.

Сказанное свидетельствует о том, что знакомство с матричными методами анализа электрических цепей является необходимым для специалистов, работающих в области электроники, энергетике, электротехнике, автоматического управления объектами и т. п.

2.1. Обобщённое и аналитическое представления схем

Обобщённое представление схем имеет целью наглядную иллюстрацию постановки задачи. Решение же задачи требует учёта фактического соединения элементов схемы. Для аналитического представления уравнений по методу узловых напряжений, отражающего характер соединения элементов, применяют матрицу соединений (инциденций).

Узловая матрица инциденций устанавливает связь между независимыми узлами и ветвями схемы и обозначается буквой .

Число строк такой матрицы равно числу независимых узлов, а число столбцов – числу ветвей.

С оставим узловую матрицу инциденций М для схемы, граф которой показан на рис. 1. За базисный примем узел c. Обозначив на графе номера ветвей схемы и указав положительные направления токов, заполним вначале табл. 1 следующим образом. Если k–я (k = 1–6) ветвь соединена с узлом, например a, и ток её направлен к этому узлу, то на пересечении столбца k и строки a ставится –1. Если же ток направлен от узла a, то ставится 1. Если ветвь k не соединена с узлом a, то на пересечения столбца k и строки a пишется нуль. Совершенно аналогично заполняются остальные строки таблицы.

Рис. 1

Таблица 1

Узлы	Ветви
	1	2	3	4	5	6
a	1	0	1	1	0	0
b	–1	1	0	0	1	0
d	0	0	0	–1	–1	1

Узловая матрица инциденций М для рассматриваемой схемы будет иметь вид:

Подобным образом составляется матрица для схемы произвольной топологии

Контурная матрица инциденций устанавливает связь между независимыми контурами и ветвями схемы. Обозначается буквой . Число её строк равно числу независимых контуров, а число столбцов – числу ветвей.

Выбрав независимые контуры и направления их обхода, как показано на рис. 1, составим табл. 2. В местах пересечений строки ( ) и столбца k (k=1–6) записывается 1, если ветвь k входит в контур , и её ток совпадает с направлением обхода, и –1, если ветвь k входит в контур , и её ток не совпадает с направлением обходя контура. Если ветвь k не входит в контур , то на месте пересечения столбца k и строки записывается нуль.

Таблица 2.

Независимые контуры	Ветви
	1	2	3	4	5	6
I	1	0	1	1	0	0
II	–1	1	0	0	1	0
III	0	0	0	–1	–1	1

Контурная матрица инциденций для рассматриваемой схемы будет иметь вид:

Аналогично составляется матрица для произвольной схемы.