Изложение численного метода

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в случае одномерной задачи имеет вид

. (1)

Для численного решения этого уравнения воспользуемся методом конечных разностей или методом сеток.

В соответствии с этим методом на пространственно-временную область АВСD одномерной задачи (рис.1) наносится сеточная область с шагом сетки по оси х - ∆х и по времени τ - ∆τ.

Рис.1. Пространственно-временная область одномерной задачи теплопроводности

Затем уравнение (1) заменяют конечно-разностной аппроксимацией (приближением). Конечно-разностное уравнение (1) может быть сделано по различным схемам.

Для уравнения теплопроводности различают два типа разностных схем: явную и неявную.

Явную схему мы получим, если возьмем разностное представление производной по времени в (1) «вперед»

. (2)

(Здесь выражение для второй производной по координате также представлено конечно-разностной аппроксимацией . (см. лабораторную работу №1)).

Отсюда

. (3)

В частности, при

(4)

формула (3) приобретает особенно простой вид

, (5)

т.е. температура в данном узле для момента времени k+1 равна среднеарифметическому из значений температур в соседних узлах для момента времени k.

Из формул (3) и (5) видно, что температура для последующего момента времени k+1 явным образом выражается через температуры для предыдущего момента времени k, поэтому схема и называется явной.

Таким образом, начиная с какого-то начального момента времени k, можно последовательно вычислить все температуры для моментов k+1, k+2, k+3,…, k+n.

Исследования показали, что данная схема будет устойчивой, т.е. ошибки неточного задания краевых условий и округления не будут возрастать при увеличении τ, если выполняется условие

, (6)

откуда

. (7)

Постановка задачи

Найти температурное поле в теплоизолированном с боковой поверхности ограниченном стержне, т.е. решить уравнение (1) при следующих краевых условиях:

1. в начальный момент времени τ=0, t=t₀;

2. при х=0, t=t_w1=const;

3. при х=l, где l – длина стержня, t=t_w2=const.

Числовые значения исходных данных взять из табл.1.

Таблица 1

Номер варианта	а∙106, м2/с	l, м	t0, oC	tw1, oC	tw2, oC	Δτ, c
1	0,625	0,1	300	30	300
2	0,109	0,05	60	20	20
3	7,10	0,2	50	50	540
4	0,485	0,25	250	0	0
5	0,14	0,02	100	10	10
6	0,40	0,04	20	250	20
7	0,0965	0,02	80	80	10
8	14,0	0,36	450	50	50
9	0,21	0,12	200	0	200
10	0,5	0,02	300	20	20
11	0,135	0,10	10	10	150
12	5,20	0,28	280	10	10
13	7,0	0,12	450	10	10
14	0,4	0,02	250	50	50
15	0,135	0,06	150	150	0
16	0,21	0,04	20	200	200
17	5,20	0,2	10	300	10
18	0,10	0,01	0	80	80
19	0,12	0,03	10	60	10
20	14,0	0,3	400	400	80

Содержание отчета

1. Расчет температурного поля для двух моментов времени с необходимыми пояснениями по явной схеме.

2. Результаты расчета температурного поля на ЭВМ.

3. Графическое представление результатов расчета в виде сетки изотерм.

Контрольные вопросы

Литература

Лабораторная работа №3

«Численное решение одномерных задач нестационарной теплопроводности методом прогонки».

Цель работы: приобретение навыков расчета одномерных задач нестационарной теплопроводности методом прогонки.

Применение метода конечных разностей по явной схеме (см. лабораторную работу №2), несмотря на его простоту, является не всегда оправданным. Как показывает практика, явная схема является неустойчивой, т.е. при неточном задании краевых условий и промежуточном округлении ошибки будут возрастать при увеличении шага по времени. Поэтому применяют метод конечных разностей, реализуемый по неявной схеме, т.е. когда температуры для последующего момента времени выражаются через одну известную температуру предыдущего момента времени. Данная схема является абсолютно устойчивой, но решается несколько сложнее, чем явная. Для реализации этого численного метода решения задач нестационарной теплопроводности на ЭВМ был разработан специальный метод прогонки.