Теорема Ферма, теорема Ролля. Их геометрический смысл.

Теорема Ферма: если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная этой точки равна 0.

Геометрический смысл:Tgα=0=>α=0

Теорема Ролля: пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1)непрерывна на [a;b]

2) дифференцируема на (a;b)

3) f(a)=f(b),

тогда внутри отрезка [a;b]найдется по крайней мере хотя бы 1 точка с, в которой производная f’(c)= 0.

Замечание: если f(a)=f(b)=0, то теорему можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями функции имеется хотя бы 1 ноль производной.

Вопрос№47.

Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя

Теорема Лагранжа: пусть f(x) удовлетворяет условиям:

1) Непрерывна на [a;b]

2) дифференцируема на (a;b),

тогда внутри отрезка существует по крайней мере 1 точка с, в которой производная равна отношению приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке:

Следствие из теоремы Лагранжа: если производная на некотором отрезке равна 0, то функция тождественно постоянна на этом отрезке.

Правило Лопиталя

Теорема: предел отношения 2 бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует:

Замечание: правило Лопиталя можно применять многократно.

ВОПРОС №48

Достаточное условие возрастания(убывания) функций.

Теорема(достаточное условие возрастания функций): если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Доказательство. Пусть дана функция y=f(x) и пусть х1<x2, x1,x2ϵX, f(x) дифференцируема на промежутке Х. Тогда по теореме Лагранжа на отрезке х1х2 выполняются условия теоремы Лагранжа, т.е. f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1), cϵ(x1x2)=>f(x2)-f(x1)>0=>f(x2)>f(x1) =>f(x)

Аналогично доказывается и теорема о достаточном условии убывания функции: если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

Точка х1 называется точкой минимума, если в некоторой окрестности f(x)>=f(x1).

Вопрос №49.

Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное(первое и второе) условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции(экстремумы функции).

Теорема(необходимое условие экстремума): для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0 или не существовала(если эта точка из области определения функции).

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума называются критическими или стационарными( точки должны входить в область определения!). Обратно утверждение неверно: критическая точка необязательно точка экстремума.

Теорема( 1-е достаточное условие экстремума): если при переходе функции через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с + на -, то х0 является точкой максимума функции. Если же с – на +, то минимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1.найти производную y'=f(x)

2.Найти критические точки: y=0 или не существует

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки

4.Найти экстремум

Теорема(2-е достаточное условие экстремума): если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна 0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке больше 0, то точка х0 – точка минимума, если меньше – точка максимума. Если же вторая производная равна 0, то ничего нельзя сказать, и нужно перейти к первому достаточному условию экстрем

Вопрос№ 50.

Выпуклость функции вверх(вниз). Необходимое и достаточное условия перегиба функции

y=f(x) называется выпуклой вниз, если (f(x1)+f(x2))/2>=f(x1+x2)/2, выпуклой вверх, если <=.Теорема: функция выпуклая вверх(вниз) на промежутке Х тогда, когда ее производная на этом промежутке монотонно убывает(возрастает).Теорема: если 2-я производная дважды дифференцируемой функции >0(<0) на нектором промежутке Х, то на нем функция выпукла вниз(вверх).Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вверх и вниз.Теорема(необходимое условие перегиба): в точке перегиба f’’(x)=0.Теорема(достаточное условие перегиба): если вторая производная при переходе через 0 меняет свой знак, то х0 – точка перегиба. Замечание: если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Вопрос №51

Асимптоты графика (горизонтальные, вертикальные, наклонные)

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, к которой график функции как угодно приближается, но не пересекает ее. 1.Если lim x→x₀ f(x)=∞, x=x₀ –вертикальная асимпт ( lim x→x₀ -0 f(x)=∞ или lim x→x₀ +0 f(x)=∞) 2.Если lim x→∞ f(x)=b, то y=b- горизонтальная асимптота 3.Если y=kx+b-наклонная асимптота, то k=lim x→∞ f(x)/x, в lim x→∞ (f(x) – kx)

вопрос№52

Общая схема исследования и построения графика функции

1. D(y), E(y);

2. Свойства (четность/нечетность, периодичность);

3. Асимптоты

4. Нули функции

5. Производная, экстремум

6. y”, ∩/U, точки перегиба

7. Пару контрольных точек

8. График

Вопрос№53

Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала.

Дифференциал функции y=f(x)-величина dy=f’(x)∆x dy=f(x)dx → f’(x)=dy/dx Геометрический смысл дифференциала Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δх (рис.

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg α = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅Δх.

Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал

функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой

точке, когда х получит приращение Δх.

Дифференциал функции приближенно равен приращению функции ∆y и пропорционален приращению аргумента ∆x.

Свойства дифференциала:

1. d (c) = 0; d(c u) = c du;

2. d(u v) = d u  d v;

3. d(u v) = v du + u dv;

4. d(u/ v) = (v du - u dv) / v²

Вопррос54

Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциал n-ого порядка.

Инвариантность (неизменность) формы дифференциала. Этим свойством обладает дифференциал функции, но не обладает его производная.

1.Если y=f(x), dy=f’(x) dx

2.Если y=f(u), u=u(x), dy=f’(u)du

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

∆y≈dy=f’(x)∆x; ∆y=f(x+∆x)-f(x)

Заменим приращение разностью функций и получим :f(x₀+ -f(x) f ‘(x₀) или f(x₀₊ ) f(x)+f’(x₀)

Дифференциал n-ого порядка.

Дифференциалом n-го порядка называют дифференциал от дифференциала n-1-го порядка.

Иначе дифференциал n-го порядка можно записать следующим образом dⁿy=f ⁿ (x)dxⁿ. В том случае, когда y=f(x), x=g(t), получаем dy= (по свойству инвариантности дифференциала).

Тогда d²y=d(dy)=d(f ’ (x)dx)=d(f ’ (x))dx+f’(x)d(dx))=f ” (x)dx²+f ‘ (x)d²x.

Дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности в отличие от дифференциалов 1-ого порядка