Вопрос№37

Понятие функции. Способы задания функции, операций над ними. Обратная функция. Элементарные функции, их классификация.Функцией называется закон, по которому числу х Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.способы задания функций:1. АналитическийЗаключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .2. ТабличныйТабличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример:

x	3	5.1	10	12.5	13	20
y	9	23	90	110	112	300

3.ГрафическийПри графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .Функцию называют обратной функцией по отношению к функции y=f(x). Функция y=f(x) и y= f^-1(x) называют взаимообратными.Элементарные функции 1.степенные у y=x^-1 и т.д.

2. показательные y = a^x3.логарифмические y = log_ax4. тригонометрические y = sinxy = cosx и т.д.5. обратные тригонометрические. y = arcsinxy = arccosx и т.д.

Вопрос№38

Предел функции на бесконечности и в точке. Односторонние приделы.

Число А назыв. пределом функции y=f(x) при x , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое число S>0, что для всех x таких что модуль x>S выполн. Неравенство модуль F(x)-A<

A=lim_x->x0f(x)

Число А называется пределом функции в точке x х₀(или или в точке x_{0 )}, если для любой сколь угодно малого полож. числа найдется такое полож. число зависящее от , что для всех x x и таких, что /x-x₀/< выполняется неравенство /f(x)-A/< .Различают правый односторонний придел и левый односторонний придел:Число называется правым односторонним пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство . Правый предел обозначается Число называется левым односторонним пределом функции в точке , если для такое, что для любого и и, выполняется неравенство . Левый предел обозначается

Вопрос№39

Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы

Теоремы:1. Если предел F(x) сущ., то он единственный.2. Придел суммы lim_x->x0(f(x) 3. lim g(x) ; B

4.lim_x->x0(c*f(x))=c*A5. lim_x->x0 (f(x)*g(x))=A*B6. Если предел lim_x->x0f(x)=ALim_u->A lim_x->x0 7.Если в некоторой окрестности в точке x₀ f(x)<g(x), то lim_x->x0 f(x) lim_x->x0 g(x)8. Если f(x) h(x)<g(x),при чем придел f(x)равен g(x )u=A, то придел h(x) тоже равен А. . lim_x->x0f(x)= . lim_x->x0g(x)=A . lim_x->x0h(x)=AЗамечательные приделы:Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Вопрос№40

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

Функция y=f(x) назыв. непрерывной в точке х₀ , если она удвол. Условию: 1. Опр. в этой точке. 2. Имеет конечный предел x х₀ . 3.предел равен значению функции 1 в этой точкеlimf(x)=f(x₀)

Определение limf(x)( x х₀)=f(limx)( x х₀)

Функция y=f(x) назыв. непрерывной в точке х₀ , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

lim

x₀- назыв. точкой разрыва функции f(x), если точка функции не явл. непрерывной, т.е нарушено хотя бы одна из трёх условий непрерывности.

Точки разрыва: 1. Точки разрыва первого рода: это когда сущ. Конечные односторонние приделы слева и справа не равные друг другу. 2. Точки разрыва второго рода: когда хотя бы один из односторонних приделов (слева или справа) или не существует или равен бесконечности.

Вопрос№41

Св-ва ф-ции непрерывных в точкею Непрерывность ф-ции на промежутке Св-ва ф-ции, непрерывность на отрезкеТеорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.Теорема о промежуточных значениях: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между A и B.Непрерывность функции на промежутке Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Вопрос№42

свойство функций непрерывных на отрезке

1)Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.2) Непрерывная на отрезке [a;b] функция является ограниченной на этом отрезке.3) Теорема Больцано-Коши. Если функция y=f (x) является непрерывной на отрезке [a;b] и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть f (a)= a₀, ,f (b)= b₀ , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между a₀ и b₀ .4)Если функция y=f(x), которая непрерывна на некотором отрезке [a,b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка c [a,b] такая, что f(c)=0 .

Вопрос№43

производная функция. Механический,экономический и геометрический смысл производной. Эластичность функции её экономические приложениеПроизводной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке f ‘ (x₀ )=tg>0Механический смысл Пусть задан путь s=f(t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t: v(t)=_{S ‘(t)}S=S(t)-уравнение пути движенияЭкономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени. μ=μ(t)-обьем произведенной продукции за период времени t (t)-производительность трудаОпределение (эластичность). Эластичностью функции Ex(y) называется величина E_x(y)= *y’Смысл: если переменная Х получит приращение на 1%, то зависимая переменная получит приращение на х(у)% где Х-выпуск продукции, а у-себестоимость ед. продукции.

Вопрос№44

правила дифференцирования таблица производных

Правило дифференц.

Вопрс№45

производная показательной неявной функции. производные высших порядков.

Если независимая переменная x и y функция связаны уравнением вида F(x,y)=0, которое не разрешено относительно y, то функция y называется неявной функцией переменной .xПроизводная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))¢ .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка). вопрос№46