4 Формула остроградского. Дивергенция векторного поля

Если функции дифференцируемы в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , то имеет место формула Остроградского

(8)

где выбрана внешняя сторона поверхности

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность , окружающую точку к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра тела к нулю:

.

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в точке . Так, если то в точке - источник, а если то сток. Если то в точке нет ни источника, ни стока. Абсолютная величина характеризует мощность источника или стока в точке .

Для дифференцируемых и в области существует

(9)

в любой точке

Тогда формула Остроградского в векторной форме имеет вид

. (10)

Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области . Для соленоидального поля характерно, что в отсутствуют источники и стоки, а для любой замкнутой поверхности .

Задача 4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, состоящую из частей и в направлении внешней нормали (рисунок 3)

Рисунок 3

Решение. Поле дифференцируемо во всем пространстве поэтому по формуле (9) получим

и по формуле (10)

Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах

Замечание. Если поверхность незамкнутая, то иногда использование формулы Остроградского в равенстве

где - еще одна поверхность, замыкающая область , может оказаться целесообразнее, чем вычисление поверхностного интеграла по поверхности

Задача 5. Вычислить поток вектора через внешнюю сторону части сферы , которая вырезана конической поверхностью (рисунок 4).

Рисунок 4

Решение. Линия пересечения сферы с конусом лежит в плоскости поэтому дополним часть сферы еще этой плоскостью и получим замкнутую поверхность. Тогда поток через часть сферы будет получен интегралами (замечание)

где - нижняя сторона части плоскости имеющая форму круга с границей Вычислим

Здесь - проекция круга из плоскости на плоскость

5 Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Пусть в области задано непрерывное векторное поле и ориентированная гладкая кривая (с заданным направлением обхода). Обозначим единичный вектор касательной к линии через , направление которого совпадает с выбранным направлением на линии.

Линейным интегралом векторного поля вдоль линии называется криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения векторов и :

(11)

где - дифференциал дуги кривой.

Если ввести в рассмотрение вектор ( - радиус вектор точки, описывающей линию ) и обозначить его проекции на координатные оси , то формулу (11) можно записать в виде

(12)

где вектор направлен по касательной к . Правая часть равенства (12) является криволинейным интегралом второго рода (криволинейный интеграл по координатам).

Если -силовое поле, то линейный интеграл равен работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки вдоль ориентированной линии .

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода, если кривая задана параметрическими уравнениями и при перемещении точки от до параметр меняется от до (выполнение условия не обязательно), используется переход к определенному интегралу:

(13)

Линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля , если - замкнутая линия. Тогда из двух возможных направлений обхода контура условимся называть положительным то, при котором область, лежащая внутри плоского контура остается слева по отношению к точке, совершающей обход (рисунок 5)

Рисунок 5

Если - замкнутая пространственная кривая, то ее направление обхода специально оговаривается.

Задача 6. Вычислить циркуляцию поля вектора по замкнутой линии , состоящей из одного витка винтовой линии от точки до точки и прямолинейного отрезка .

Решение. Виток соответствует изменению параметра в уравнениях кривой от до . Прямая имеет направляющий вектор , поэтому ее параметрические уравнения будут , где изменяется от до . Вычислим циркуляцию по формулам (12) и (13)