Содержание

1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент 4

2. Векторное поле. Векторные линии 6

3. Поток векторного поля 8

4. Формула Остроградского. Дивергенция векторного поля 11

5. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля 15

6. Ротор векторного поля. Формула Стокса 17

7. Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного

интеграла в потенциальном поле 20

8. Варианты заданий 23

Список литературы 35

1 Скалярное поле. Производная по направлению и градиент

Пространственная область , в каждой точке которой задано определенное число (скаляр) называется скалярным полем. Скалярное поле задается скалярной функцией

,

определенной в области . Если поле задано функцией двух переменных

,

то оно называется плоским. Скалярными являются поле температур, поле давлений, поле плотности вещества и др.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня - множества точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение.

- уравнение различных поверхностей уровня при различных .

В плоском поле

- уравнение линий уровня.

Формула

(1)

дает производную скалярного поля в точке по направлению , где  направление единичного вектора касательной к заданной линии в точке . Производная поля в данной точке по направлению характеризует скорость изменения поля в этом направлении.

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

. (2)

Между производной поля по направлению и его градиентом в точке существует следующая связь :

(3)

где –угол между вектором и градиентом в точке . Из равенства (3) следует, что в каждой точке , не являющейся критической, градиент направлен в сторону максимального возрастания поля , а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания :

.

Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке эллипса по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке и градиент поля в этой же точке.

Решение. Направление внешней нормали к эллипсу в точке перпендикулярно к направлению касательной к эллипсу в этой точке.. Точка лежит на части эллипса с уравнением . Обозначим через – угол, который образует направление касательной с осью . Тогда

.

Если обозначить угол, образованный направлением с осью , через , то из условия перпендикулярности нормали и касательной получим

.

Находим направляющие косинусы вектора

Вычислим

и получим по формуле (1)

А по формуле (2)

2 Векторное поле. Векторные линии

Если в каждой точке пространственной области задан определенный вектор то говорят, что в этой области задано векторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями вектора на координатные оси декартовой системы:

.

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

.

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное относительно как функции от . Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

.

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решение получим Итак, искомая векторная линия