30. Ортогональные и ортонормальные системы в Гильбертовых пространствах. Пример ортогональной системы.
Система
векторов
в
H
наз-ся ортогональной системой, если
для всех
Если, кроме того,
для всех
,
то система
наз-ся
ортонормированной системой.
Пусть
дано гильбертово пространство Н
и
дана счетная система
Будем
называть систему
ортонормированной
системой, если
Рассмотрим
вопрос о нахождении коэффициентов
разложения элемента x
по
элементам ортонормированной системы
{
}.
Предполагаем,
что такое разложение существует:
разложение x
по
{
}
- по ортонормированной системе. Допустим,
что разложение
имеет
место. Возьмем формулу
будем
умножать последовательно на
Умножаем на
(коэффициент = 1 в силу ортонормированной
системы). Умножаем на
и
т.д. Умножим на
Получаем формулу нахождения коэффициентов
Фурье. Здесь
–
k
-й
коэффициент Фурье элемента x
.
Получаем, что
-
ряд Фурье элемента по ортонормированном
системе {
}.
Примеры:
39. Операторы с чисто точечным спектром. Теорема о связи с собственными значениями (с док-ом).
Значения
, при которых оператор
обратим, называются регулярными, а те
, где
необратим, называются нерегулярными.
Множество нерегулярных точек оператора называется спектром оператора.
В n-мерном пространстве понятия собственного значения и нерегулярной точки совпадают. Но в общем случае спектр содержит все собственные значения, но может кроме них содержать ещё кое-что другое.
Резольвентное
множество - множество точек оператора,
где
обратим. При этом
называется резольвентой оператора
Совокупность собственнх значений оператора называется точечным спектром оператора. Остальная часть спектра называется непрерывной.
40. Слабая компактность шара в сопряженном пространстве. Теорема о вложенных шарах (с док-ом).
M - метрическое пространство.
Теорема
(О вложенных шарах).
Пусть пространство M полно, и
последовательность вложенных замкнутых
шаров, причем
.
Тогда их перечесление не пусто.
Поскольку
,
а
,
последовательность
будет
фундаментальной и потому сходится к
некоторому x ∈
M
в силу полноты пространства. Покажем,
что x является искомой точкой. Действительно,
если бы нашёлся шар Bi0 такой, что
, тогда бы точка x не лежала бы ни в одном
из шаров, начиная с
номера
.
Но поскольку дополнение к
открыто, x можно отделить окрестностью
от всех шаров, начиная с номера
.
Это противоречит тому, что x-предел
последовательности центров шаров.
Замечание.
Очевидно, что в силу сходимости
это пересечение будет состоять из одной
точки. Действительно, если бы их было
две, то расстояние d между ними было бы
ненулевое. Когда радиусы шаров станут
меньше, чем
,
эти две точки не поместятся в шаре такого
радиуса одновременно.
Теорема
(О слабой компактности).
Пусть X - сепарабельное нормированное
пространство. Тогда всякое ограниченное
бесконечное подмножество в
является
слабо предкомпактным.
Выберем
в X счётное всюду плотное множество
Пусть
ограниченная последовательность
функционалов. Рассмотрим последовательность
чисел
.
Она ограничена, а потому содержит
сходящуюся. Обозначим её через
).
Рассмотрим последовательность чисел
.
Она тоже содержит сходящуюся
подпоследовательность
).
Продолжая этот процесс и выделяя
диагональ
, получаем последовательность функционалов,
которая сходится на всех векторах
Покажем,
что сходимость имеет место для всех
векторов x ∈
X.
Покажем фундаментальность последовательности
.
Рассмотрим последовательность элементов
из D, сходящуюся к x, тогда, очевидно,
Теорема доказана.