38. Интегральные уравнения Фредгольма. Случай вырожденных ядер.
Линейным
интегральным
уравнением Фредгольма второго рода
называется
уравнение вида
где
–
неизвестная функция,
K(x,t) и
f(x)
–
известные функции, x,
t – действительные
переменные, изменяющиеся в интервале
– числовой
множитель.
Функция
K(x,t)
называется
ядром
интегрального
уравнения (1). Предполагается, что ядро
K(x,t)
определено
в квадрате
на
плоскости (x,
t)
и непрерывно в
,
либо его разрывы таковы, что двойной
интеграл
имеет
конечное значение.
Если
f(x)≠0,
то
уравнение (1) называется неоднородным;
если же f(x)=
0, то
уравнение (1) принимает вид
(2)и
называется однородным.
Интегральное
уравнение вида
(3) не
содержащее искомой функции
вне
интеграла, называется интегральным
уравнением Фредгольма первого рода.
Решением интегральных уравнений (1), (2), (3) называется любая функция , при подстановке которой в уравнения последние обращаются в тождество относительно x∈( a,b ).
Случай вырожденных ядер.
Ядро K(x,t), представимое конечной суммой вида , называется вырожденным ядром. Здесь функции , n = 1,2,...,N будем считать непрерывными в квадрате a≤x, t≤b и линейно-независимыми между собой.
Рассмотрим интегральное уравнение с вырожденным ядром или (9) где Подставим в виде суммы (9) в последнее соотношение. Получим (10)
В результате мы пришли к системе однородных алгебраических уравнений (10) относительно . Нас интересует нетривиальное решение системы (10). Последнее возможно, если Это соотношение является алгебраическим уравнением N-й степени относительно . Отсюда следует утверждение: вырожденное ядро имеет конечное число собственных значений.
35. Ряд Фурье по тригонометрической системе на симметричных отрезках
Ряд
вида
называется
тригонометрическим рядом.
Пусть
периодическая с периодом π2 функцияf
(x
)
представлена
тригонометрическим рядом, сходящимся
к данной функции на [− π; π] , т. е. является
суммой этого ряда
(2)
f (x)разлагается в тригонометрический ряд равномерно.
Предположим,
что этот ряд сходится на [− π; π]. Найдем
его коэффициенты
(3),
(4),
(5).
Таким образом, eсли периодическая функция f(x) с периодом 2π является суммой равномерно сходящегося на [− π; π] тригонометрического ряда, то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
Коэффициенты ряда (2), определенные по формулам (3), (4) и (5) называются коэффициентами Фурье (или коэффициентами Эйлера-Фурье), а тригонометрический ряд (2) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x ).
Если функция f(x) задана на сегменте [-l;l], где – произвольное число, то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:
где
,
.
Формулу
легко вывести, если сделать линейную
замену независимой переменной
Если
,
то
.
В результате функция
⎛=π
определена на интервале (− π; π ), и мы
можем разложить её в ряд Фурье.
В случае, когда – четная функция, то ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, когда – нечетная, ее ряд Фурье содержит только синус.