33. Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства. Примеры гильбертовых пространств.

Скалярным произведением в линейном пространстве L называется функция (x,y), принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и y пространства L и любых чисел справедливо равенство

( [линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2) для любых справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение;

3) для любого имеем ,причем (x,x)=0 только при x=0.

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное -- унитарным.

Предгильбертово пространство – векторное пространство над С, снабженное скалярным произведением (точнее пара (H,f), состоящая из вектоного пространства H и скалярного произведения f на нем).

Гильбертово пространство – это предгильбертово пространство, полное относительно нормы

Примеры гильбертово пространства: Пространство является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения .

Пространство явл-ся гильбертовым пространством относительно скалярного произведения . Абсолютная сходимость этого ряда вытекает из очевидного нер-ва , справедливого для всех .

Для ∀ пространства с мерой пространство явл-ся гильбертовым пространством относительно скалярного произведения

36. Сопряженные, самосопряженные и унитарные операторы в Гильбертовых пространствах.

Предгильбертово пространство – векторное пространство над С, снабженное скалярным произведением (точнее пара (H,f), состоящая из вектоного пространства H и скалярного прроизведения f на нем).

Гильбертово пространство – это предгильбертово пространство, полное относительно нормы

Пусть — гильбертовы пространства и T : — огра-

ниченный линейный оператор. Оператор : , , называется гильбертово сопряженным к T.

Пусть A — ∗-алгебра. Элемент a ∈ A называется самосопряженным (или эрмитовым), если . Если H — гильбертово пространство, то ограниченный самосопряженный оператор в H — это самосопряженный элемент алгебры B(H).

Пусть H — гильбертово пространство, T ∈ B(H) — самосопря-

женный оператор и ⊆ H — замкнутое T-инвариантное подпространство. Тогда — самосопряженный оператор в .

Пусть H1,H2 — гильбертовы пространства. Линейный оператор

U ∈ B( , ) унитарен, тогда и только тогда, когда он обратим

и = .

37. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Методика решения интегральных уравнений с вырожденным ядром.

Ядро K(x,t), представимое конечной суммой вида , называется вырожденным ядром. Здесь функции , n = 1,2,...,N будем считать непрерывными в квадрате a≤x, t≤b и линейно-независимыми между собой.

Рассмотрим интегральное уравнение с вырожденным ядром или (9) где Подставим в виде суммы (9) в последнее соотношение. Получим (10)

В результате мы пришли к системе однородных алгебраических уравнений (10) относительно . Нас интересует нетривиальное решение системы (10). Последнее возможно, если Это соотношение является алгебраическим уравнением N-й степени относительно . Отсюда следует утверждение: вырожденное ядро имеет конечное число собственных значений.