Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет»
в г. Кумертау
Кафедра ЕН и ОТД
Лабораторная работа № 16
Определение коэффициента Пуассона методом Клемана-Дезорма
Заведующий кафедрой ен и отд:
Проф. Даутов а.И.
Составил: Ст. Преподаватель
Медведев И.А.
Кумертау
2010
Определение коэффициента Пуассона методом Клемана-Дезорма.
Приборы и принадлежности: 1. Герметичный баллон,
2. Поршневой насос.
Цель работы: Определение отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме, называемого коэффициентом Пуассона
Теория метода
Как известно, состояние идеального газа описывается с помощью определенных параметров. Наиболее часто в качестве термодинамических параметров состояния газа выбирают температуру Т, объем V и давление Р.
При расширении газ совершает работу. Пусть газ находится под поршнем в цилиндрическом сосуде. Если газ расширяясь передвигает поршень на бесконечно малое расстояние, то он производит над ним работу, равную F=dh, где F – сила действующая на поршень со стороны газа. Зная давление газа Р и площадь поршня S, находят F=PS, тогда
dA=P•Sdh=p•dV
Sdh=dV – увеличение объема газа,
dA=P•dV (1)
это важное соотношение определяет работу при элементарном процессе бесконечно малого изменения объема газа. Эта работа зависит только от давления газа и общего состояния его объема.
Полная работа А, проводимая газом при расширении от некоторого объема V1 до объема V2, выражается особенно просто для процесса, происходящего при постоянном давлении. В этом случае
A=P(V2 - V1)
Вообще работа при различных процессах определяется следующим образом
Если газ не получает из вне никакой энергии, эта работа при расширении производится за счет его внутренней энергии. Эта энергия, которую мы обозначили за U, включает в себя кинетическую энергию теплового движения молекул идеального газа. В реальном газе, кроме того учитывается потенциальная энергия взаимодействия молекул друг с другом. Однако изменение внутренней энергии тела при некотором процессе, вообще говоря, не совпадает с произведенной работой, т.к. тело может получать и отдавать энергию путем ее непосредственного перехода от других тел без совершения при этом работы. Передаваемую таким способом энергию называют количеством тепла, эту величину называют положительной, если тело получает тепло, и отрицательной если оно отдает тепло.
Таким образом, бесконечно малое изменение внутренней энергии тела складывается из двух частей: она возрастает за счет полученного телом количества тепла и убывает за счет совершенной телом работы dA. Следовательно
dU=dQ-P•dV (2)
Это соотношение выражает собой закон сохранения энергии при тепловых процессах, который называется первым началом термодинамики.
При поглощении количества тепла dQ, температура тела повышается на dT, то соотношение
С=dQ/dT (3)
Называется теплоемкостью тела, т.е. это количество теплоты необходимое для нагревания на 1º.
Такое определение, однако, само по себе не достаточно, т.к. требуемое для нагревания количество тепла зависит на только от изменения температуры, но и от других условий, при которых производится нагревание; поэтому необходимо указать также, что происходит с другими, помимо температуры, свойствами тела.
Наиболее употребительны в физики так называемая теплоемкость при постоянном объеме СV и теплоемкость при постоянном давлении CP. Однако, СV и CP различаются значительно только для газов. Для жидкостей и твердых тел в следствии малости коэффициентов объемного расширения CP иCV очень близки по значению и практически не различаются. Поэтому, все последующие рассуждения относятся только к газам.
Если V=const, то dV=0 и dQ=dU, (4)
т.е. все сообщаемое из вне тепло идет на увеличение внутренней энергии. Поэтому
CV=(dU/dT)V (5)
Индекс v означает что дифференцирование производится при постоянном объеме.
Если при нагревании остается P=const, то тепло идет не только на увеличение внутренней энергии, но и на совершение внутренней работы
dQ=dU+P•dV=d(U+P•V) т.к. P=const. (6)
Количество тепла оказывается равным изменением величины
W=U+P•V (7)
которую называют тепловой функцией или энтальпией.
Итак, теплоемкость при постоянном давлении может быть определена следующим образом
СP=(dW/dT)P (8)
Для одного кМоля идеального газа CP> CV на величину работы, которую совершает кМоль газа расширяясь при нагревании на 1º. Работа эта равна A=P•V.
Таким образом, СP= СV+P(dW/dT)
Но для одного кМоля идеального газа
P•V=R•T
P•(dV/dT)P=R
CP=CV+R (9)
Согласно (9), универсальная газовая постоянная численно равна работе, которую 1 кМоль газа совершает, расширяясь при нагревании на 1º.
Рассмотрим каким образом теплоемкости СV и CP зависят от природы газа.
Для идеального газа, если считать его частицы точками, средняя кинетическая энергия молекулы определяется выражением
mc-2/2=3/2kT
k – постоянная Больцмана.
Это выражение справедливо для молекул точек, способных совершать только поступательное движение. Такое представление о газе можно считать справедливым лишь для одноатомных газов. Полная хаотичность движения молекул позволяет считать что среднее значение кинетических энергий по трем направлениям равны друг другу
Для описания положения материальной точки в пространстве вводят понятие степеней свободы.
Числом степеней свободы механической системы называется число независимых координат, определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве.
Каждая молекула одноатомного идеального газа обладает, таким образом, тремя степенями свободы. Причем на каждую степень свободы одноатомной молекулы приходится 1/3· mc-2/2 1/3 средней кинетической энергии или 1/2kT. Для одного моля идеального одноатомного газа на каждую степень свободы приходится 1/2kT·N0=1/2RT энергии.
Многоатомные молекулы обладают кроме поступательных также еще и вращательными и колебательными степенями свободы.
В классической статистической физике доказывается теорема о распределении энергии по степеням свободы эту теорему можно сформулировать так.
Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре Т, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой степени свободы молекулы она равна 1/2kT.
Двух и многоатомные газы отличаются от одноатомных числом степеней свободы своих молекул. Значит, для вычисления внутренней энергии газа и, следовательно, теплоемкости надо уметь определять число степеней свободы молекул газа.
Рассмотрим простейший случай двухатомной молекулы. Ее можно себе представить в виде системы, состоящую из двух атомов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 1).
Если же расстояния между этими атомами не меняется (жесткая молекула), то такая система, вообще говоря, имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение и конфигурацию положения такой молекулы можно описать тремя координатами ее центра масс, характеризующие поступательного движения молекулы как целого, и тремя координатами, определяющие возможное вращение молекулы около взаимноперпендикулярных осей X,Y,Z. Однако, опыт и теория показывают, что вращение молекулы около оси Х, на которой лежат центры обоих атомов может быть возбуждено только при очень больших температурах. При обычных температурах вращение около оси Х не происходит также как и не вращается отдельный атом.
Рис. 1.
Поэтому для описания возможных вращений молекулы достаточно двух координат.
Следовательно число степеней жесткой двух атомной молекулы равно 5, из них три поступательные и две вращательные степени свободы.
Но атомы молекулы не всегда жестко связаны друг с другом: они могут совершать колебания относительно друг друга, тогда очевидно требуется еще одна координата для определения конфигурации – это расстояние между атомами.
Следовательно в общем случае двухатомная молекула обладает 6 степенями свободы: 3 поступательными, 2 вращательными и 1 колебательной. Если молекула состоит из n атомов, не жестко связанных, то она имеет 3n степеней свободы. Из этого числа 3 степени свободы поступательные и 3 вращательные, за исключением случая, когда атомы расположены на одной прямой когда вращательных степеней свободы только 2 (как и у двухатомной молекуле).
На рис. 2 приведена модель трехатомной молекулы и показаны оси X,Y,Z вдоль которых может быть расположен вектор угловой скорости молекулы. Таким образом не линейная n атомная молекула в общем случае может иметь (3n-6) колебательных степеней свободы, а линейное (3n-5). Во многих случаях колебательное движение атомов вовсе не возбуждается.
Рис. 2.
Но если колебания атомов совершается в молекуле и если их амплитуды достаточны, малы (по сравнению с расстоянием между ними), то такие колебания можно считать гармоническими: атомы в этом случае являются осцилляторами (осциллятором называют систему совершающую гармонические колебания).
Но осциллятор обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией, которая обусловлена квазиупругими силами, возвращающими атом в положение равновесия. Для гармонического осциллятора, как известно средние значения кинетической и потенциальной энергии раны между собой.
Следовательно, если в молекуле возбужденны гармонические колебания атомов, то по закону равнораспределения энергии на каждую колебательную степень свободы приходится 1/3кТ в виде кинетической энергии и 1/3кТ в виде гармонических колебаний.
Таким образом, энергия, приходящаяся на каждую колебательную степень свободы, равна не 1/2кТ, а 2·1/2кТ=кТ. Если число степеней свободы молекул газа равно i, то ее средняя энергия равна
и внутренняя энергия одного киломоля такого газа
(11)
Соответственно этому молярные теплоемкости газа
(12)
Одним из важнейшее процессов изменения состояния газа является адиабатический процесс.
В течение всего этого процесса газ остается теплоизолированным от внешней среды. Внутренняя энергия самого газа не остается постоянной, т.к. газ совершает работу при своем расширении (или при сжатии над ним совершается работа).
Общее уравнение адиабатического процесса получают, если в 1 начале термодинамики dQ=dU+P•dV положить количество тепла dQ равным нулю в соответствии с условием теплоизолированности. Таким образом, бесконечно малое изменение состояния тепла при адиабатическом процессе характеризуется уравнением
dQ+PdV=0 (13)
Применим это уравнение к адиабатическому расширению идеального газа; для простоты все будем относить к одному киломолю газа. Энергия реального газа есть функция только его температуры, причем dU/dT=CV, поэтому в уравнение адиабатического процесса можно dE заменить на CVdT
Подставляя сюда P=RT/V и разделив равенство на Т, получат следующее соотношение:
Если предложить, что теплоемкость газа в интересующем нас интервале температур постоянна (для одноатомных газов это предложение справедливо всегда, а для двухатомных оно выполняется в значительном интервале температур), то полученное соотношение можно переписать в виде
d(CVLnT+RLnV)=0
CVLnT+RLnV=Const
Или после потенцирования
Ta•VR=Const (14)
Зная, что для идеального газа CP -CV=R и возводя (14) в степень 1/СV, перепишем его в окончательном виде
TVγ-1=Const (15)
γ= CP /CV (16)
Очевидно, что при адиабатическом процессе температура и объем идеального газа меняются таким образом, что произведение TVγ-1 остается постоянным, т.к. γ>1, то (γ-1) >0 и, следовательно, адиабатическое расширение сопровождается охлаждением, а сжатие – нагреванием газа.
Комбинируя уравнение (16) с уравнением состояния газа для 1 киломоля P•V=R•T можно получить уравнение, связывающее давление с объемом:
PVγ=Const (17)
Которое называется уравнением адиабаты Пуассона.