27. Определение ускорения точки при естественном способе задания движения.

Пусть даны траектория точки и закон движения вдоль этой траектории в виде . Рассмотрим, как в этом случае определяется скорость точки. Если за промежуток времени точка переходит из положения М в положение М1, совершая вдоль дуги траектоии перемещение , то численная величина её средней скорости будет равна , или . Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени. Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна. Формулы определяет численную величину скорости. Поскольку численная величина вектора скорости отличается от величины его модуля только знаком, будем обозначать обе эти величины одни и тем же символом v; ни к каким недоразумениям это практически не приводит. В тех же случаях, когда надо подчеркнуть, что речь идёт о модуле скорости, будем обозначать этот модуль символом . Так как знак v совпадает со знаком , то легко видеть, что если величина v>0 , то вектор скорости v направлен в положительном направлении отсчёта расстояния s , а если v<0, то в отрицательном. Следовательно, численная величина скорости определяет одновременно и модуль вектора скорости и сторону, в которую он направлен.

27. Касательное и нормальное ускорение точки. Частные случаи движения точки.

1).Прямолинейное движение. Если траекторией точки является прямая линия, то . Тогда и все ускорение точки равно одному только касательному ускорению: . Так как в данном случае скорость изменяется только численно, то отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине. 2). Равномерное криволинейное движение. Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остаётся постоянной: . Тогда и все ускорение точки равно одному только нормальному ускорению: . Вектор ускорения направлен при этом все время по нормали к траектории точки. Так как в данном случае ускорение появляется только за счёт изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. 3). Равномерное прямолинейное движение. В этом случае , а значит и . Заметим, что единственным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение. 4). Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остаётся все время величиною постоянной: . Формулу представим в виде Вторично интегрируя, найдём закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает – замедленным. Так как изменение модуля скорости характеризуется касательным ускорением,то движение будет ускоренным, если величины и имеют одинаковые знаки. В частности, при равнопеременном движении, если в равенстве и , имеют одинаковые знаки, движение будет равноускоренным, а если разные знаки – равнозамедленным. 5). Гармонические колебания. Рассмотрим прямолинейное движение точки, при котором её расстояние x от начала координат О изменяется со временем по закону , Колебания, происходящие по закону, играют большую роль в технике. Они называются простыми гармоническими колебаниями. Величина а, равная наибольшему отклонению точки от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Промежуток времени , в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Определение проекций ускорения точки на касательную и глав_{ную нормаль (касательное и нормальное ускорение). Вычислим проек}ции вектора a на оси М_τ и М_n. Так как V_т= ^ds/dt _{то проекция ускорения на} касательную (касательное ускорение)______________________Оно характеризует изменение скорости точки только по величине и равно первой производной по времени от проекции скорости точки на на- правление касательной (от алгебраической скорости точки) или второй производной по времени от закона движения точки по траектории. Найдем теперь проекцию ускорения на главную нормаль (нормаль_{ное ускорение). Дифференцирование вектора T0} ^{неизменной величины приводит к у}величению его модуля в da/dt раз, где в данном случае a – угол смежности. Заменяя ___________________ _{и ____________ получаем_________________} Нормальное ускорение характеризует изменение скорости только по направлению. Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны. Нормальное ускорение всегда направлено по главной нормали в сторону вогнутости траектории (к центру кривизны). Раскладывая ускорение на составляющие по естественным осям, получим __________________ Модуль ускорения__________________{Направление ускорения определим по формуле}_______________ где µ – угол между полным ускорением a и нормалью. Частные случаи движения точки:

α_n = 0, α_τ = 0 – прямолинейное равномерное движение, V = const;

α_n = 0, α_τ ≠ 0 – прямолинейное неравномерное движение;

α_n ≠ 0, α_τ = 0 – криволинейное неравномерное движение, V = const;

^α_n ^{≠ 0, α}_τ ^{≠ 0 – криволинейное равномерное движение.}