27. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.С.144

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. . Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Формула показывает также, что вектор скорости v равен отношению элементарного перемещения точки dr, направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку времени dt. При параллельном движении вектор скорости v всё время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по численной величине; при криволинейном движении кроме численной величины всё время изменяется и направление вектора скорости точки. Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. - вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени. Вектор ускорения точки равен отношению элементарного приращения вектора скорости dv к соответствующему промежутку времени dt. В общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

27. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения.С.149

1).Определение скорости точки. Вектор скорости точки . Отсюда, учитывая, что , , , будем иметь: , , , или , , , где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени . 2). Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки . Отсюда на основании теоремы о проекции производной и формул получаем: , , , , , , т.е. проекции ускорения точки на оси координат равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени .

27. Естественный трехгранник, естественные оси координат. Алгебраическая скорость точки и ее физический смысл.

Скорость точки в естественных координатах. Движение точки будет задано в естественной форме, если известна ее траектория и закон (или уравнение) движения по траектории S_M = f (t), где S_M – дуговая координата точки (рис. 2.5), заданная как функция времени. Точка О – начало дуговых координат.

Н аправим ось М_τ (касательную к траектории в положении М) в сто_{рону увеличения дуговых координат. Единичный вектор (орт) этой оси обозначим Т}⁰ _{. Так как вектор скорости точки направлен тоже по касательной к траектории в данном месте М, то _____________} Проведем из неподвижной точки О₁ радиус-вектор точки М – r_M ^{_______________________} Величина ________________ может быть положительной (если движение происходит в сторону увеличения дуговых координат в положительном на_{правлении по траектории), отрицательной или равной нулю. Ее называют алгебраической скоростью точки (в отличие от вектора VM} и его модуля ^|V_M ^|=V_M ^). _{Выясним, как можно вычислить алгебраическую скорость точки. Применяя формулу получим _________________________}где ___________ _{единичный орт касательной.} Сравнивая это выражение с уравнением делаем вывод, что алгебраическая скорость точки (проекция вектора скорости на направление касательной к траектории) равна первой производной по времени от дуговой координаты точки: ____________________ Скорость точки при естественном способе задания движения находится дифференцированием по времени закона движения точки по траектории. Проведем через М_τ касательную плоскость. Вращая ее вокруг М_τ, можно получить сколько угодно плоскостей, касающихся кривой в точке М. Среди этих плоскостей найдутся такие, к которым кривая как бы прилегает наибольшим или наименьшим числом своих точек. Эти плоскости называются соприкасающейся и спрямляющей. Наименование последней происходит от того, что если заставить кривую касаться этой плоскости большим числом своих точек, то кривая начнет спрямляться. Эти три характерные плоскости, которые можно провести в точке М, между собой взаимно перпендикулярны и образуют так называемый естественный трехгранник.

Линии пересечения этих плоскостей образуют так называемую естественную систему координат. Оси этой системы называются касательной – М_τ, главной нормалью – М_n и бинормалью – М_в. При этом М_τ получается пересечением соприкасающейся и спрямляющей плоскостей; М_n – пересечением нормальной и соприкасающейся плоскостей; М_в – пересечением нормальной и спрямляющей плоскостей. Положительное направление осей выбирают следующим образом: ^М_τ ^{– в сторону увеличения}дуговой координаты;

М_n – в сторону вогнутости кривой, к центру ее кривизны;

_{Мв – так, чтобы получилась} ^{правая система координат} _{При движении точки М по тра}ектории вместе с ней перемещается и связанная с ней естественная система координат, направление осей которых непрерывно изменяется в пространстве.