27. Центр параллельных сил и его координаты.С.130.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил. Координаты центра параллельных сил: , , . На все частицы материального тела вблизи земной поверхности действуют силы притяжения к Земле, называемые силами тяжести. Если размеры тела сравнительно невелики, то эти силы параллельны между собой и направлены в одну сторону. Их равнодействующая называется силой тя_{жести тела.} Как было показано ранее, равнодействующая двух параллельных и одинаково направленных сил проходит через одну и ту же точку С при любой ориентации сил относительно прямой, соединяющей точки их приложения. Этот результат может быть распространен и на случай большого числа параллельных сил, направленных в одну сторону, так как, найдя центр первых двух сил, в нем можно приложить их равнодействующую, затем найти центр этой равнодействующей и некоторой третьей силы системы и т.д. На все частицы материального тела вблизи земной поверхности действуют силы притяжения к Земле, называемые силами тяжести. Если размеры тела сравнительно невелики, то эти силы параллельны между собой и направлены в одну сторону. Их равнодействующая называется силой тя_{жести тела.} Как было показано ранее, равнодействующая двух параллельных и одинаково направленных сил проходит через одну и ту же точку С при любой ориентации сил относительно прямой, соединяющей точки их приложения. Этот результат может быть распространен и на случай большого числа параллельных сил, направленных в одну сторону, так как, найдя центр первых двух сил, в нем можно приложить их равнодействующую, затем найти центр этой равнодействующей и некоторой третьей силы системы и т.д.

27. Центр тяжести и его координаты. Центр тяжести объема, площади, линии.С.131-132.

Центром тяжести твёрдого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве. Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами и будут: , , , где , , - координаты точек приложения сил тяжести частиц тела. Согласно определению центр тяжести – это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела. Точку С, координаты которой определяются формулами , , , называют центром тяжести объёма V. Точку, координаты которой определяются формулами , , называют центром тяжести площади S. Координаты центра тяжести линии: , , . система сил тяжести частиц материального тела имеет свой центр, через который проходит линия действия их равнодействующей. Эта геометрическая точка, принадлежащая телу, называется его центром тяжести. Чтобы найти положение центра тяжести тела, выберем систему ко_{ординат Oxyz, неизменно связанную с телом. Ось Oz направим вертикаль}но вверх, то есть параллельно линиям действия сил тяжести. Тогда можно записать:

_По таким же формулам можно вычислять координаты центра тяжести тела, если с ним сама система координат непосредственно не связана. Представим себе некоторый объем V, заполненный однородным веществом, имеющим удельный вес γ. Силы тяжести такого тела и некоторой его частицы пропорциональны их объемам_{Если в формулы (1) подставить значения Р и Рk, то получаем:}

Выражения (3) определяют положение центра тяжести объема, который является его геометрической характеристикой. Рассмотрим теперь тонкую однородную пластинку весом Р. Эта сила равномерно распределена по всей площади пластинки, так что Р = А γ, где γ – сила тяжести, приходящаяся на единицу площади. Мысленно разобьем всю пластинку на n частей (k = 1, 2, ..., n). Очевидно, что сила тяжести Р_k равна А_kγ. Выберем систему координат, расположенную в плоскости пластин_{ки, и найдем положение ее центра тяжести С:}

_где x_k и y_k – координаты центров тяжести выделенной части. Эти формулы определяют положение центра тяжести пластинки, но положение этой точки не зависит ни от силы тяжести, ни от вещества, из которого сделана пластинка. Следовательно, по ним находится положение центра тяжести не самой пластинки, а ее площади. Так мы пришли к поня_{тию «центр тяжести плоской фигуры», то есть геометрического объекта,}не обладающего массой. Это понятие является еще одной геометрической характеристикой плоской фигуры. Аналогичными рассуждениями можно прийти к понятию «центр _{тяжести геометрической линии»:}

где L_k – длина k-той части, на которые разбита вся линия. В полученных формулах (1.51) – (1.55), определяющих центры тяжести материального и геометрического тел, суммы состоят из бесчисленного множества слагаемых. Правила вычисления таких сумм излагаются в курсе интегрального исчисления.