4. З даказаных тэарэм вынікае, што сукупнасць прамых і акружнасцяў плоскасці пры інверсіі пераўтвараецца ў самую сябе.

З гэтых тэарэм вынікаюць таксама спосабы пабудавання фігуры, інверснай дадзенай прамой або акружнасці.

Задача 1. Пабудаваць пункт інверсны дадзенаму пункту, ведаючы полюс інверсіі і пару ўзаемна інверсных пунктаў (рыс. 145).

Р азвязанне. Няхай О – полюс інверсіі, А і А₁ – пара інверсных пунктаў, В – дадзены пункт.

Няхай В₁ ёсць шуканы пункт. Тады трохвугольнікі ОАВ і ОВ₁А₁ падобныя. Таму калі на АВ адкласці адрэзак ОL, роўны ОА, а на ОА – адрэзак ОК, роўны ОВ, то трохвугольнікі ОКL і ОА₁В₁ таксама будуць падобнымі, а прамая А₁В₁ паралельная прамой КL.

Адсюль вынікае такое пабудаванне. Будуем прамені ОА і ОВ і на іх адкладваем адпаведна ОК = ОВ і ОL = ОА. Праз пункт А₁ праводзім прамую, паралельную КL, пункт перасячэння В₁ якой з ОВ ёсць шуканы.

Задача 2. Пабудаваць акружнасць, інверсную дадзенай прамой, што не праходзіць праз полюс інверсіі.

Р азвязанне. Няхай дадзена прамая l, што не праходзіць праз полюс інверсіі О (рыс. 146).

Правядзем перпендыкуляр ОА да прамой l і пабудуем пункт А₁, інверсны А. Акружнасць з дыяметрам ОА₁ з’яўляецца шуканай.

Задача 3. Пабудаваць прамую, інверсную дадзенай акружнасці, што праходзіць праз цэнтр інверсіі.

Развязанне. Няхай дадзеная акружнасць з цэнтрам К праходзіць праз полюс інверсіі О (рыс. 146), А₁ – пункт гэтай акружнасці, ляжыць на прамой цэнтраў дадзенай акружнасці і акружнасці інверсіі. Будуем пункт А, інверсны А₁ і праз яго праводзім прамую, перпендыкулярную прамой цэнтраў, якая і ёсць шуканая.

Задача 4. Пабудаваць акружнасць, інверсную дадзенай акружнасці, што не праходзіць праз полюс.

Развязанне. Няхай О – цэнтр інверсіі і акружнасць з цэнтрам М – дадзеная акружнасць, што не праходзіць праз М (рыс. 147). Знаходзім пункт А₁, інверсны пункту А. Няхай В – другі пункт перасячэння прамой ОА з дадзенай акружнасцю. Праз А₁ праводзім прамую, паралельную ВМ. Тады пункт перасячэння пабудаванай прамой з прамой цэнтраў ёсць цэнтр інверснай акружнасці гаматэтычныя з цэнтрам О. Цэнтр інверснай акружнасці знаходзіцца на прамой ОМ. Паколькі гаматэтыя захоўвае паралельнасць, то ?

5. Разгледзім пытанне пра захаванне вуглоў пры інверсіі.

Вуглом паміж акружнасцямі называецца вугал паміж датычнымі да акружнасцяў, праведзенымі праз пункт перасячэння акружнасцяў.

Гэты вугал роўны вуглу паміж радыусамі акружнасцяў, праведзенымі ў пункт перасячэння.

Вуглом паміж акружнасцю і прамой называецца вугал паміж прамой і датычнай да акружнасці ў адным з пунктаў яе перасячэння з дадзенай прамой.

Гэты вугал роўны вуглу, які радыус акружнасці, праведзены ў пункт перасячэння, утварае з перпендыкулярам да дадзенай прамой.

Тэарэма 4. Вугал паміж дзвюма акружнасцямі роўны вуглу паміж акружнасцямі, ім інверснымі. Гэтая ўласцівасць праўдзіцца і ў выпадку, калі некаторыя з акружнасцяў замяняюцца прамымі.

Д оказ. Няхай акружнасці М і N перасякаюцца ў пэўным пункце А (рыс. 148). Няхай О – полюс інверсіі, В – другі пункт перасячэння прамой ОА з акружнасцю М, А₁ – пункт, інверсны А, М і N – цэнтры акружнасцяў, інверсных акружнасцям М і N. Пункты М і N, наогул кажучы, не з’яўляюцца інверснымі пунктам М і N.

Паколькі О ёсць цэнтр гаматэтыі акружнасцяў М і М, то радыусы МВ і МА₁ паралельныя. Таму вуглы МАА₁ і МА₁А роўныя. Гэтак сама вуглы NАА₁ і NА₁А роўныя. Значыць, вуглы МАN і МА₁N роўныя як рознасці роўных вуглоў. Але вуглы МАN і МА₁N ёсць вуглы паміж дадзенымі акружнасцямі і паміж інверснымі акружнасцямі.

Падобныя разважанні выкарыстоўваюцца і ў выпадку, калі некаторыя з акружнасцяў замяняюцца прамымі: замест радыусаў акружнасцяў разглядаюцца перпендыкуляры да гэтых прамых.

Вынік 4. Дзве акружнасці або акружнасці і прамая, што датыкаюцца, пераўтвараюцца пры інверсіі ў акружнасці і прамыя, якія таксама датыкаюцца (калі пункт дотыку не супадае з полюсам інверсіі.

Вынік 5. Дзве акружнасці або акружнасці і прамая, што перасякаюцца пад прамым вуглом, пераўтвараюцца пры інверсіі ў акружнасць і прамую, якія таксама перасякаюцца пад прамым вуглом.

Разгледзім некаторыя прымяненні інверсіі.

Тэарэма 5. ГМП, тасунак адлегласцяў якіх да двух дадзеных пунктаў роўны тасунку двух дадзеных няроўных адрэзкаў, ёсць акружнасць.

Доказ. Няхай А і В – дадзеныя пункты, a і b – дадзеныя адрэзкі, a  b і МА : МВ = a : b (рыс. 149).

П рымем адзін з дадзеных пунктаў, напрыклад, А, за полюс інверсіі з адвольнай ступенню k. Няхай В₁ – пункт, інверсны пункту В.

Няхай М – адвольны пункт шуканага ГМП, а М₁ – пункт, інверсны М. Тады М₁В₁ = .

Паколькі па ўмове МА : МВ = a : b, то М₁А₁ = = const.

Такім чынам ГМП М₁, адваротных, пунктам М ёсць акружнасць з цэнтрам В₁.

Высветлім, ці праходзіць гэтая акружнасць праз полюс А. Каб акружнасць праходзіла праз полюс, павінна праўдзіцца ўмова:

= АВ₁, або kb = aæАВæАВ₁.

Паколькі В і В₁ – інверсныя пункты, то АВæАВ₁ = k. Значыць, апошняя роўнасць запішацца як kb = ak, але гэта немагчыма, бо па ўмове a  b.

Значыць, ГМП М₁, адваротных пунктам М, ёсць акружнасць, што не праходзіць праз полюс інверсіі. Таму і ГМП ёсць акружнасць.

Тэарэма 6 (Пталемея). У любым выпуклым чатырохвугольніку, умежаным у акружнасць, здабытак дыяганаляў роўны суме здабыткаў супрацьлеглых старон.

Д оказ. Няхай АВСD – умежаны чатырохвугольнік (рыс. 150). Над пунктамі А, В, С выканаем адвольную інверсію з полюсам D. Тады пункты А₁, В₁, С₁, інверсныя пунктам А, В, С адпаведна, ляжаць на адной прамой. Значыць, А₁В₁ + В₁С₁ = А₁С₁.

Але А₁В₁ = , В₁С₁ = , А₁С₁ = .

Значыць, + = , або

= , або = АС, або

АВæDС + ВСæDА = АСæDВ.

Тэарэма 7. У кожным выпуклым чатырохвугольніку, умежаным у акружнасць, тасунак сум здабыткаў старон, што збягаюцца ў канцах адпаведных дыяганаляў.

Доказ. Няхай АВСD – умежаны чатырохвугольнік. Выканаўшы над пунктамі А, В, С адвольную інверсію з полюсам В, атрымаем прамую А₁С₁, якой належыць і пункт В₁, дзе А₁, В₁, С₁ – пункты, інверсныя пунктам А, В, С адпаведна (рыс. 150).

Па тэарэме Сцюарта, прымененай да трохвугольніка DА₁С₁ і адрэзка DВ₁, атрымаем:

= æ + æ – А₁В₁æВ₁С₁.

Але DВ₁ = , DА₁ = , DС₁ = , В₁С₁ = , А₁С₁ = ,

А₁В₁ = .

Таму = + – , або

= , або 1 = , або DАæDСæАС + АВæВСæАС = ВСæDВæDС + АВæDАæDВ, або АС(DАæDС + АВæВС) = DВ(ВСæDС + АВæDА), або = .

Тэарэма 8. Адлегласць ОI паміж цэнтрамі акружнасцяў, апісанай каля трохвугольніка і ўмежанай у яго выражаецца праз радыусы R і r гэтых акружнасцяў наступным чынам: ОI² = R² – 2Rr. Аналагічна для пазаўмежанай акружнасці: ОI_а² = R² – 2Rr_а.

Д оказ. Няхай АВС ёсць дадзены трохвугольнік (рыс. 151), О – цэнтр апісанай акружнасці радыуса R, I – цэнтр апісанай акружнасці радыуса r, D, Е, F – пункты дотыку умежанай акружнасці да старон АС, АВ, ВС.

Прымем умежанаю акружнасць за акружнасць інверсіі. Пунктамі, інверснымі пунктам А, В, С, будуць сярэдзіны F₁, D₁, Е₁ старон DЕ, ЕF, FD. Значыць, акружнасцю, інверснай апісанай акружнасці, з’яўляецца акружнасць D₁Е₁F₁, г. зн. акружнасць дзевяці пунктаў трохвугольніка DЕF. Радыус гэтай акружнасці роўны r.

Ступень разгляданай інверсіі роўная r², ступень полюса I у дачыненні да апісанай акружнасці роўная R² – ОI². Па выніку 3 атрымаем r : R = r² : (R² – ОI²), або R² – ОI² = , або ОI² = R² – 2Rr.

Тэарэма 9 (Файербаха). Акружнасць дзевяці пунктаў адвольнага трохвугольніка датыкаецца да ўмежанай і трох пазаўмежаных акружнасцяў гэтага трохвугольніка.

Доказ. Няхай АВС – дадзены трохвугольнік (рыс. 152), I і I_а – цэнтры ўмежанай і адной з пазаўмежаных акружнасцяў, што датыкаецца да стараны ВС, X і X₁ – пункты дотыку ўмежанай і пазаўмежанай акружнасцяў да стараны ВС, В₁С₁А₁ – пасярэдні трохвугольнік трохвугольніка АВС, DЕ – унутраная датычная да ўмежанай і пазаўмежанай акружнасцяў, якая перасякае старану ВС трохвугольніка АВС у пункце F, старану А₁В₁ трохвугольніка А₁В₁С₁ у пункце В₂ і працяг стараны А₁С₁ гэтага трохвугольніка ў пункце С₂.

Л ема 1. Адлегласць ад вяршыні трохвугольніка да пункта дотыку да ўмежанай акружнасці стараны, якой належыць гэтая вяршыня, роўная паўперыметру трохвугольніка, паменшанаму на супрацьлеглую старану.

Доказ. Калі М, N, X – пункты дотыку, то СМ + МА + АN + NВ + ВX + XС = 2p. Улічыўшы, што СМ = XС, МА = АN, NВ = ВX, атрымаем: 2XС + 2АN + 2NВ = 2p, або XС = p – АN + NВ, або XС = p – АВ, або XС = p – c.

Лема 2. Адлегласць ад вяршыні трохвугольніка да пункта дотыку стараны трохвугольніка, якой належыць гэтая вяршыня, да прадметнай акружнасці роўная паўперыметру, палепшанаму на старану, працягу якой датыкаецца пазаўмежаная акружнасць, і якая праходзіць праз гэтую вяршыню.

Няхай K і L – пункты дотыку пазаўмежанай акружнасці да працягаў дзвюх старон АВ і АС трохвугольніка АВС. Тады АK + АL = АВ + ВK + АЕ + ЕL = c + ВX₁ + b + СX₁ = b + c + a = P = 2p. Паколькі АK = АL, то АK = p. Адсюль ВX₁ = ВK = АK – АВ = p – c.

Лема 3. Пры інверсіі акружнасць пераходзіць у самую сябе тады і толькі тады, калі яна артаганальная акружнасці інверсіі.

Д оказ. Няхай пры дадзенай інверсіі з акружнасцю  (рыс. 153) дадзеная акружнасць пераходзіць у самую сябе. Няхай А – адвольны пункт дадзенай акружнасці. Тады яго вобразам будзе пункт А₁, у якім прамень ОА перасякае дадзеную акружнасць.

Няхай Т – пункт перасячэння інверснай і дадзенай акружнасцяў. Паколькі Т належыць інверснай акружнасці, то пры інверсіі ён пераходзіць сам у сябе. Такім чынам, ОАæОА₁ = k = ОТ².

Значыць, ОТ ёсць датычная да дадзенай акружнасці. Таму яе радыус КТ перпендыкулярны да радыуса ОТ інверснай акружнасці. Гэта акружнасць артаганальная акружнасці інверсіі.

Няхай цяпер дадзеная акружнасць з цэнтрам К артаганальная акружнасці інверсіі  і Т – пункт іх перасячэння. Тады ОТæОТ = k. Няхай А – адвольны пункт дадзенай акружнасці, а прамень ОА перасякае яе ў пункце А₁. Тады ОАæОА₁ = ОТ² = k. Гэта азначае, што А₁ ёсць вобраз пункта А пры дадзенай інверсіі. Атрымліваецца, што адвольны пункт А дадзенай акружнасці пры інверсіі пераўтвараецца сам у сябе. Значыць, дадзеная акружнасць пры інверсіі пераўтвараецца сама ў сябе.

З лем 1 і 2 вынікае, што СX = ВX₁. Значыць, А₁X = А₁X₁, бо А₁ – сярэдзіна адрэзка ВС. Акружнасць з цэнтрам А₁ і радыусам АX возьмем у якасці інверснай акружнасці. Знойдзем радыус гэтай акружнасці:

А₁X + А₁X₁ + СX + ВX₁ = ВС = a, або 2А₁X + p – c + p – c = a, або 2А₁X = a + 2c – P, або 2А₁X = a + 2c – a – b – c = c – b.

Значыць, А₁X = = А₁X₁.

Акружнасць дзевяці пунктаў праходзіць праз пункт А₁. Значыць, пры ўказанай інверсіі яна пераўтвараецца ў прамую. Дакажам, што гэтая прамая ёсць прамая DЕ. Пераканаемся, што вобразамі пунктаў В₁ і С₁ з’яўляюцца пункты В₂ і С₂ адпаведна.

Паколькі пункт F належыць біснктрысе вугла А, то ВF : FС = c : b. Значыць, = c / b і = c / b, або ВFæb = ac + cæВF і aæb – FСæb = FСæc, або ВF = і FС = .

Знойдзем А₁В₁æА₁В₂. А₁В₁ = .

З падобнасці трохвугольнікаў А₁В₂F і ВDF маем: = .

Далей маем: ВD = ВС₁ + С₁D = + С₁D. Але С₁D = АС₁ – АD = АС₁ – АС = – b. Значыць, ВD = + – b = c – b.

А₁F = ВF – ВА₁ = – = = = .

Значыць, = : , або = , або = .

Адсюль А₁В₂ = .

Значыць, А₁В₁æА₁В₂ = æ = = А₁X².

Гэта азначае, пункт В₂ ёсць вобраз пункта В₁ пры инверсии, зададзенай акружнасцю з радыусам А₁X.

Знойдзем А₁С₁æА₁С₂. А₁С₁ = .

Трохвугольнікі А₁FС₂ і СFЕ падобныя. Таму = . Улічыўшы, што СЕ = ВD, атрымаем: = : , або = , або = . Значыць, А₁С₂ = . Таму А₁С₁æА₁С₂ = æ = = А₁X².

Гэта азначае, што пункт С₂ ёсць вобраз пункта С₁ пры разгляданай інверсіі.

Паколькі пункты В₂ і С₂ ляжаць на прамой DЕ, то акружнасць дзевяци пунктащ пры разгляданай инверсии пераўтворваецца ў прамую DE.

У адпаведнасці з лемай 3 умежаная акружнасць пры указанай інверсіі пераўтворваецца ў самую сябе, бо IX  А₁X. А паколькі I_аX₁  А₁В, то і пазаўмежаная акружнасць пераўтворваецца ў самую сябе.

Такім чынам, пры інверсіі адносна акружнасці з радыусам А₁X акружнасць дзевяці пунктаў пераўтвараецца ў датычную DЕ да ўмежанай і пазаўмежанай акружнасцяў, якія пры гэтай інверсіі пераўтвараюцца самі ў сябе. Тады гэтая ж інверсія ўмежаную акружнасць і разгляджаную пазаўмежаную акружнасць пераўтварае ў саміх сябе, а іх агульную датычную DЕ – у акружнасць дзевяці пунктаў. Значыць, акружнасць дзевяці пунктаў датыкаецца да гэтых дзвюх акружнасцяў. Гэтаксама ўстанаўліваецца, што акружнасць дзевяці пунктаў датыкаецца да дзвюх іншых пазаўмежаных акружнасцяў.

74