§ 10. Высоты треугольника

Теорема 1. Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Тогда получим  А₁В₁С₁ (рис. 55).

Поскольку АС₁ВС и АВА₁С – параллелограммы, то АС = С₁В = ВА₁. Значит В – середина стороны А₁С₁. Так же: А – середина стороны В₁С₁, С – середина стороны А₁В₁. Высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₁В₁С₁, поскольку АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁.

Поскольку серединные перпендикуляры  А₁В₁С₁ пересекаются в одной точке, то совпадающие с ними прямые, содержащие высоты АВС, пересекаются в одной точке. Точку Н пересечения высот  АВС называют его ортоцентром.

Теорема 2. Для каждого треугольника его ортоцентр Н, центр О описанной окружности и центр тяжести М лежат на одной прямой, причём ОМ : МН = 1 : 2.

Д оказательство. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, М – точка пересечения его медиан, О – точка пересечения перпендикуляров к сторонам.

Ч ерез вершины А, В, С проведём прямые, параллельные сторонам треугольника АВС. В полученном треугольнике А₁В₁С₁ стороны треугольника АВС являются средними линиями (рис. 56). Поскольку АВА₁С – параллелограмм, то прямая АМ пройдёт через А₁ и А₀ – середину стороны ВС. Так же прямая ВМ пройдёт через В₁, а СМ – через С₁. Поэтому  АВС и  А₁В₁С₁ имеют общий центр тяжести – точку М.

Рассмотрим гомотетию .При этом преобразовании : А₁  А, В₁  В, С₁  С. Поэтому А₁В₁С₁ перейдёт в  АВС, поскольку отрезок переходит в отрезок. Центр описанного около треугольника А₁В₁С₁ круга перейдёт в центр О описанного около треугольника АВС круга. Но центром описанного около треугольника А₁В₁С₁ круга является, как установлено в доказательстве теоремы 1, ортоцентр Н треугольника АВС. Значит, точки Н и М лежат на прямой, проходящей через центр М гомотетии. Кроме того, НМ : МО = 2 : 1 (с учетом коэффициента гомотетии).

Прямую, которой принадлежит ортоцентр треугольника, его центр тяжести и центр описанного круга, называют прямой Эйлера.

Теорема 3. Для любого треугольника АВС середины его сторон и основания высот лежат на одной окружности, которая делит пополам отрезки от вершин треугольника до ортоцентра. Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера и делит пополам отрезок между ортоцентром Н и центром О описанного круга.

Середины отрезков от вершин до ортоцентра называют точками Эйлера.

Доказательство. Пусть А₁, В₁, С₁ – середины сторон треугольника АВС (рис. 57), А₂, В₂, С₂ – основания его высот, А₃, В₃, С₃ – середины отрезков АН, ВН, СН, где Н – ортоцентр. Будем иметь: А₁В₁||АВ и А₁В₁ = АВ, поскольку А₁В₁ – средняя линия треугольника АВС; А₃В₃||АВ и А₃В₃ = АВ, поскольку А₃В₃ – средняя линия  АВН;

А₁В₃||НС и А₁В₃ = НС, как средняя линия треугольника ВСН; А₃В₁||НС и

А₃В₁ = НС, как средняя линия треугольника НСА. Отсюда следует, что А₁В₁А₃В₃ – параллелограмм. Поскольку СН  АВ, А₃В₁||НС, А₃В₃||АВ, то А₃В₁  А₃В₃, и поэтому А₁В₁А₃В₃ – прямоугольник.

Так же доказывается, что А₁С₁А₃С₃ – прямоугольник.