§ 8. Теорема синусов

8.1. Теорема синусов позволяет находить стороны треугольника по одной стороне и углах: .

8.2. Теорема 1. В каждом треугольнике отношение любой его стороны и синуса противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного около этого треугольника круга.

Д оказательство. Пусть около треугольника АВС описан круг с центром О (рис. 49). Докажем, что .

Проведём диаметр ВА₁ и рассмотрим  А₁ВС.

В нём  А₁СВ = 90,  А₁ =  А; ВС = а. ВС = А₁В sin A₁.

Поэтому а = 2 R sin A, или .

Теоремы синусов и косинусов позволяют найти все элементы треугольника по трём его известным элементам, из которых хотя бы один линейный.

Задача 1. Найти длину биссектрисы угла А треугольника АВС, если его стороны равны а, b, с.

Р ешение. Пусть в треугольнике АВС: ВС = а, АС = b, АВ = с и АL – биссектриса угла А.

По теореме о биссектрисе (теорема 6.1.)

ВL : LС = АВ : АС.

Поэтому , или или , или

ВL = .

По теореме косинусов, применённой к треугольникам АВС и АВL, будем иметь:

b² = а² + с² – 2 ас соsВ и АL² = ВL² + с² + 2 с ВL соsВ.

Тогда

АL² = а² + с² – 2 с = с² ( + 1 – ) =

=с² = с² =

= bс = и АL = l_a = = .

Задача 2. Найти радиус окружности, проходящей через одну из вершин квадрата со стороной а, его центр и середину стороны, не содержащую указанную вершину.

B C Решение. Пусть О – центр квадрата АВСD со стороной а,

М – середина стороны СD. Нужно вычислить радиус

окружности, которой принадлежат точки А, О и М (рис. 52).

О М По теореме 1: , .

А D Поскольку ОМ = а, ОА = , АМ = ,  АОМ = 135, то

Рис. 51

§ 9. Медианы треугольника.

Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство. Пусть АА₁ и ВВ₁ – медианы треугольника АВС, М – точка их пересечения (рис. 52). Поскольку А₁В₁ – средняя линия треугольника АВС, то А₁В₁||АВ и А₁В₁ = АВ.

Тогда  МА₁В₁ =  МАВ,  МВ₁А =  МВ₁А₁ – как в нутренние накрестлежащие при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей АА₁ (для первого равенства) и секущей ВВ₁ (для другого равенства).

Поэтому  МАВ  МА₁В₁. и = 2 : 1.

Пусть медианы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке N. Тогда АN : NA₁ = 2 : 1, значит, точки М и N совпадают.

Точку пересечения медиан треугольника называют ещё центром тяжести треугольника.

Э то название можно объяснить следующим образом. Пусть АВС – треугольная однородная пластина. Если представить её разделённой на очень узкие пластины, как показано на рисунке 53, то легко понять, что центры тяжести этих пластин находятся на медиане АА₁. Поэтому центр тяжести пластины находится в определённой точке медианы АА₁. Так же устанавливается, что центр тяжести пластины АВС находится и на медиане ВВ₁, а значит, в точке пересечения медиан АА₁ и ВВ₁.

Иной раз бывает полезным при решении задач, связанных с медианой треугольника, продолжить её на такое же расстояние за точку пересечения со стороной треугольника.

Задача 1. Найти площадь треугольника со сторонами 6 и 8, если медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5.

Р ешение. Пусть в  АВС: АВ = 8, АС = 6 и медиана АМ = 5. Продолжим медиану АМ за точку М на расстояние 5, получим точку А₁. Поскольку АВА₁С – параллелограмм, то треугольники АВС и АА₁С имеют равные площади.

В треугольнике АА₁С все три стороны известны:

АС = 6, А₁С = 8, АА₁ = 2 АМ = 10.

Поэтому .