§ 7. Метрические соотношения в круге

7.1. Теорема 1. Произведение секущей, проведённой через точку м вне круга, на её внешнюю часть есть величина постоянная.

Д оказательство. Пусть проведены секущие МА и МС к окружности с центром О из точки М вне круга. Докажем, что МА МВ =  МС МD.

П оскольку Δ АDМ  Δ СВМ ( А =  С – как вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу ВD,  М – общий), то , откуда МА МВ = МС МD.

Следствие 1. Произведение секущей, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра круга

радиуса R, а > R, на её внешнюю часть равна а² – R².

Действительно, по теореме 1:

МА МВ =  МС МD = (а + R) (a – R) = a² – R² (рис. 38).

Т еорема 2. Если на сторонах угла с вершиной М взяты 4 точки А, В, С, D (рис. 39) такие, что МА МВ = МС МD, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности.

Доказательство. Пусть через точки А, В, С проведена окружность и D₁ – её вторая точка пересечения с прямой МС. Тогда по теореме 1: МА МВ = МС МD₁, кроме того по условию МА МВ = МС МD. Тогда МС МD₁ = МС МD. Поэтому точки D₁ и D совпадают.

Т еорема 3. Если через точку М внутри круга проведена хорда, то произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, есть величина постоянная.

Доказательство. Пусть через точку М внутри круга с центром О произвольно проведены две хорды АВ и СD. Докажем, что МА МВ = МС МВ (рис. 40). Из подобия ΔАМС и  ΔВМD, ( АМС =  ВМD,  САВ =  СDВ) имеем , или МА МВ = МС МD.

Следствие 2. Произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, находящейся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а < R, равно R² – а².

Д ействительно, по теореме 2 (рис. 41)

МА МВ = МС МD = (R + a) (R – a) = R² – а².

Теорема 4. Если отрезки АВ и СD пересекаются в точке М и МА МВ =  МС МD, то точки А, В, С, D принадлежат одной окружности.

Д оказательство. Через точки А, В, С проведём окружность (рис. 42). Пусть D₁ – её вторая точка пересечения с прямой СМ. Тогда по теореме 3 МА МВ = МС МD₁, а по условию МА МВ =  МС МD. Тогда МС МD₁ = МС МD, или МD₁ = МD, и, значит точки D₁ и D совпадают.

Теорема 5. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 43).

Д оказательство. Из подобия Δ АТМ и Δ ВТМ ( М – общий,  А =  ВТМ) имеем , или МА МВ = МТ².

Т еорема 6. Если на сторонах угла с вершиной М взяты точки А, В, С (рис. 44) так, что МА МВ = МС², то МС – касательная к окружности, проведённой через точки А, В, С.

Доказательство. Проведём окружность через точки А, В, С. Пусть С₁ – вторая точка пересечения прямой МС с этой окружностью. Тогда по теореме 1 МС МС₁ = МА МВ. Но по условию МА МВ = МС². Поэтому МС МС₁ = МС², или МС₁ = МС. Значит, точки С₁ и С совпадают. Прямая МС имеет с окружностью общую точку и поэтому она – касательная.

Задача 1. В круг поместили замкнутую ломанную из пяти звеньев одинаковой длинны. Каждое звено ломаной продолжили до пересечения с окружностью отрезками зелёного и синего цвета, причём из одной вершины ломаной выходят отрезки разного цвета. Доказать, что сумма длин зелёных отрезков совпадает с суммой длин синих.

Д оказательство. Пусть звенья ломаной АВСDЕ, находящейся в круге, имеют длину а, з_і и с_і – длины отрезков, продолжающих і-ое звено ломаной до окружности (рис. 45). По теореме 3 будем иметь

с₁ (а + з₁) = з₅ (а + с₅),

с₂ (а + з₂) = з₁ (а + с₁),

с₃ (а + з₃) = з₂ (а + с₂),

с₄ (а + з₄) = з₃ (а + с₃),

с₅ (а + з₅) = з₄ (а + с₄).

Сложив эти равенства и отбросив равные произведения с₁з₁, с₂з₂, с₃з₃, с₄з₄, с₅з₅ из обеих частей, получим (с₁ + с₂ + с₃ + с₄ + с₅) а = (з₁ + з₂ + з₃ + + з₄ + з₅) а, откуда следует искомое равенство.

7.2. Из теорем 1 и 3 следует, что величина a² – R² является характеристикой взаимного расположения круга и точки из плоскости круга, где а – расстояние от точки до центра круга, R – радиус круга. Величину a² – R² называют степенью точки по отношению к кругу.

Теорема 7. ГМТ, которые имеют одну и ту же степень в отношении двух кругов, есть перпендикуляр к линии их центров.

Д оказательство. Пусть О и О₁ – центры кругов с радиусами R и R₁ (рис. 46). Пусть точка М имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Тогда

ОМ² – R² = O₁M² – R₁², откуда

ОМ² – O₁M² = R²– R₁².

По следствию 4.3 точка М принадлежит определённому перпендикуляру к прямой ОО₁. Пусть N –произвольная точка перпендикуляра к прямой ОО₁, который определён условием ОМ² – O₁M² = R²– R₁².

Тогда ОN² – O₁N² = R²– R₁², или ОN² – R² = O₁N² – R₁².

Последнее равенство означает, что точка N имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Доказательство остаётся в силе, если, например, R₁ = 0.

Следствие 3. ГМТ, степени которых по отношению к заданной точке равны, есть перпендикуляр к прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

ГМТ, о которых идёт речь в теореме 7 и следствии 3, называются радикальной осью двух кругов и радикальной осью круга и точки соответственно.

Следствие 4. Два концентрических круга не имеют радикальной оси.

С ледствие 5. Радикальная ось двух пересекающихся кругов проходит через точки пересечения соответствующих окружностей.

Действительно, степени точек А и В (рис. 47) по отношению к каждому из кругов О и О₁ равны нулю.

С ледствие 6. Радикальная ось касающихся кругов совпадает с их общей касательной, проведённой через точку касания.

Действительно, если бы радикальная ось имела с окружностью О одну, кроме А, общую точку В (рис. 48), то эта точка должна была иметь степень О и в отношении к кругу О₁. Поэтому она принадлежала бы и окружности О₁. Но окружности не имеют других общих точек, кроме А. Поэтому радикальная ось является касательной к окружности О, и значит, к кругу О₁.

Следствие 7. Радикальные оси любых двух из трёх окружностей или параллельны, или пересекаются в одной точке.

Действительно, если какие-нибудь две из трёх радикальных осей имеют общую точку, то через неё пройдёт и третья радикальная ось.