§ 3. Теорема косинусов

3.1. Теорема косинусов является одной из наиболее используемых теорем при решении задач на треугольники. Это:

а) найти сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними;

б) найти угол треугольника, если известны три его стороны;

в) найти сторону треугольника, если известны прилежащий к ней угол и две другие стороны.

Задачи а) и б) использованы при решении задачи 1.1.

Задача в), в отличии от задач а) и б), которые всегда решаются однозначно, может иметь 2 решения, 1 решение или ни одного (рис. 3, 4, 5)

В задаче в) даны стороны а и с и угол А, прилежащий к неизвестной стороне АС. Рисунки 3, 4, 5 показывают, как можно построить треугольник АВС по этим элементам и возможные исходы этого построения. Рассмотренная задача на построение треугольника АВС соответствует алгебраической задаче на решение квадратного уравнения

b² – (2с соsА)b + (с² – а²) = 0,

которое может иметь 2 решения (рис. 3), 1 решение (рис. 4), 0 решений (рис. 5).

3.2. Рассмотрим применение теоремы косинусов.

Теорема 1. Треугольник является остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, меньше, равен или больше квадрат его большей стороны по сравнению с суммой квадратов двух других его сторон.

Доказательство основывается на равенстве соs C = .

Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелаграмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Д оказательство. Применив к треугольникам АВС и АВD (рис. 6) теорему косинусов, будем иметь:

d = a² + b² – 2 ab cos ABC,

d = a² + b² – 2 ab cos BAD.

Сложив эти равенства, получим

d + d = 2a² + 2b² – 2ab(cos ABC + cos BAD) =

= 2 a² + 2 b², поскольку cos ABC + cos  BAD = cos(180^ –  BAD) + cos BAD =

= – cos BAD + cos BAD = 0.

Следствие 1. Квадрат медианы треугольника равен полусумме квадратов сторон, между которыми проходит эта медиана, уменьшенный на квадрат половины стороны, к которой проведена эта медиана:

m = –

Доказательство. Продолжим медиану АМ за точку М на такое же расстояние: МА₁ = АМ (рис. 7). Тогда АВА₁С – параллелограмм, и a² + (2 m_a )² = 2b² + 2c², откуда m = – .

Теорема 3 (Стюарта). Для произвольной точки D на стороне ВС треугольника АВС выполняется равенство

А В² DC + AC² BD – AD² BC = BD DC BC.

Доказательство. Из треугольников АDС и АDВ будем иметь AC² = AD² + DC² – 2 AD DC cos  ADC,

AB² = AD² + BD² – 2 AD BD cos  ADB.

Учитывая, что  ADB = 180° –  ADC, и умножив равенства соответственно на BD и DC и сложив их почленно, получим

AB² DC + AC² BD = (AD² + BD² – 2 AD BD cos (180° – ADC)) DC + (AD² +DC² –

– 2 AD DC cos  ADC) BD = AD² DC + BD² DC + 2 AD BD DC cos  ADC +

+ AD² BD + DC² BD – 2 AD BD DC cos  ADC = AD² (DC + BD) +

+ BD DC (BD + DC) = AD²·BC + BD DC BC, откуда

АВ² DC + AC² BD – AD² BC = BD DC BC.

§ 4. Теорема Пифагора

4.1. Теорема Пифагора – наверное самый известный факт геометрии. О на имеет богатую историю и сегодня известно более 360 ее доказательств, одно из которых приведем (рис. 9). Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с.

Чтобы доказать, что а² + b² = c², построим два квадрата со стороной a + b.

Первый квадрат разобьем на два квадрата с площадями а² и b² и 4 прямоугольных треугольника, равных данному, другой – на четыре такие же треугольника и квадрат со стороной с.

Если от равных квадратов АВСD и А₁В₁С₁D₁ отбросить по четыре равных треугольника, то оставшиеся фигуры будут иметь одинаковые площади. Поэтому

а² + b² = c².

Теорема 1. В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

= , = .

Д оказательство. Из подобия ∆АВС  ∆АСН и

∆АВС  ∆СВН получим необходимые пропорции.

Следствие 1. Хорда круга есть среднее пропорциональное между диаметром и её проекцией на диаметр, проходящий через один из концов хорды.

Д ействительно, ACВ = 90° (рис. 11). Поэтому к треугольнику АВС можно применить теорему 1.

Теорема 2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу: = (рис. 10).

Для доказательства достаточно заметить подобие треугольников АСН и СВН.

Следствие 2. В круге перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть среднее геометрическое между отрезками, на которые он делит диаметр: СН = (рис. 11).

Теорема 3. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону треугольника:

А С² – АВ² = НС² – НВ² (рис. 12).

Доказательство. По теореме Пифагора, применённой к треугольникам АСН и АВН будем иметь:

АС² = НС² + АН², АВ² = НВ² + АН² ,

Откуда АС² – АВ² = НС² – НВ².

Следствие 3. Геометрическое место точек (ГМТ), разность квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В постоянна, есть перпендикуляр к прямой АВ.

Действительно, пусть точки М и N такие, что МА² – МВ² = k и NA² – NB² = k. Спроектируем точку М на прямую АВ, получим точку О. Тогда АО² – ВО² = k. Если спроектировать точку N на прямую АВ, то для её проекции О₁ будем иметь

АО – ВО = k. Значит, О₁ = О.

Пусть теперь точка Р лежит на перпендикуляре ОМ, тогда для неё АО² –ВО² =k.

Теорема 4. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена тогда и только тогда, когда она выходит из вершины прямого угла.

Д оказательство. Необходимость. Пусть медиана СМ (рис. 13) в треугольнике АВС равна АВ, т.е. МА = МВ = МС.

Тогда  МСА =  А,  МСВ = В,

 А +  В +   АСВ = 180º,

 А +  В = 90º,  МСА +  МСВ = 90º.

Достаточность. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС,  С = 90º, проведена медиана СМ (рис. 14). Продолжим медиану СМ за точку М так, что МС₁ = МС. Четырёхугольник АСВС₁ – параллелограмм, причём  С = 90º, значит четырёхугольник АСВС₁ – прямоугольник. Поэтому АВ = СС₁ и МА = МВ = МС.

Следствие 4. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности находится на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СН. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСН и ВСН равны r₁ и r₂. Найти радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС.

Р ешение. Из подобия треугольников ВАС, ВСН, САН можно записать . Тогда для определенного числа t: AB = rt, AC = r₁t, BC = r₂t.

А поскольку AB² = AC² +BC², то r² t² = r t² + r t², и

r² = r +r .

Заметим, что подобные отношения существуют между другими сходными линейными элементами d, d₁ и d₂ треугольников АВС, АСН и ВСН: d² = d + d , (например для расстояний от точки пересечения медиан до центров вписанных окружностей).

Этот факт называют обобщённой теоремой Пифагора.