§ 13. Площадь

Площадь – одна из характеристик геометрической фигуры. Она выражается через параметры, определяющие эту фигуру. Очевидно, что формула, по которой определяется площадь фигуры, зависит от вида фигуры и от параметров, её определяющих. Например, для площади треугольника наиболее используемыми являются формулы формулы

S = ah, S = ab sin C, S = , S = pr, S = 2 R² sinAsinBsinC.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике основание равно 40, высота, проведённая к ней – 15. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.

Р ешение. Поскольку высота ВD в равнобедренном треугольнике АВС, проведённая к основанию АС, является медианой, то АD = АС = 20.

Поэтому АВ = = 25.

Площадь треугольника АВС можно выразить формулами

S = bh_b и S = ch_c, откуда bh_c = ch_c, и

h_c = = 24.

В задаче 1 нужный параметр фигуры был найденчерез промежуточное использование площади. Этот приём, который называют методом площадей, был использован Пифагором (§ 4).

Задача 2. Найти длину биссектрисы угла треугольника, если визвесты этот угол и стороны, его образующие.

Р ешение. пусть CL – биссектриса угла С треугольника АВС (рис. 79), СА = b, СВ =а, СL = l_с. Поскольку СL разбивает треугольник АВС на два треугольника АСL и ВСL, то с учётом адитивности площади будем иметь:

S_АВС = S_АВС + S_АВС , или absin C = bl_c sin + al_c sin , или 2 ab sin cos = l_c (a + b) sin , или l_c = cos .

Теорема 1. Для любого описанного около окружности многоугольника справедливо равенство S = pr, дзе S – площадь многоугольника, р – его полупериметр, r – радиус вписанного круга.

Д оказательство. Если многоугольник А₁А₂А₃ … А_n описан около окружности с центром О, то отрезки ОА₁, ОА₂, … ОА_n делят его на n треугольников А₁ОА₂, А₂ОА₃, …, А_nOA₁, основаниями которых являются стороны многоугольника, а высотами – радиусы, проведённые в точки касания. Поэтому

+ + … + = А₁А₂ r + А₂А₃ r + …+ А_nА₁ r =

= (А₁А₂ + А₂А₃ + + … А_nА₁) r = p r.

Теорема 2. Для любого треугольника его площад равна произведению радиусаыуса окружности на полупериметр, уменьшенному на сотору, которой касается эта окружность: S = r_a (p – a).

Д оказательство. Пусть окружность О_а является вневписанной в треугольник АВС (рис. 81) О_аК, О_аМ, О_аN – радиусы, проведенные в точки касания.

Тогда

= – = +   – =

= АВ r_a + АВ r_a – АВr_a = r_a (AB + AC – BC) =

= r_a (AB + AC +BC – 2 BC) = r_a ( – BC) = r_a (p – a).

Следствие 1. Отрезок касательной от вершины треугольника до противолежащего вневписанного круга равен полупериметру треугольника.

Д оказательство. Пусть А₁, А₂, А₃ – точки касания вневписанной окружности со стороной ВС треугольника АВС и продолжений двух других его сторон (рис. 82). Тогда

АА₂ = АВ + ВА₂ = АВ + ВА₁ = с + ВА₁, АА₃ = АС + СА₃ = = АС + СА₁ = b + СА₁. Поскольку АА₂ = АА₃, то

2 АА₂ = b + c + BA₁ + CA₁ = b + c + BC = a + b + c, откуда АА₂ = = р.

Следствие 2. Радиусы вневписанных и вписанной окружности в треугольник связаны равенством .

Действительно, по теореме 2: , , .

Тогда .

Следствие 2. .

Действительно, .

Теорема 3. ГМТ М, для которых площади треугольников МАВ и МАС равны, где А, В, С – данные точки, есть объединение двух прямых, из которых одна проходит через А параллельно ВС, а другая содержит медиану АК треугольника АВС.

Д оказательство. Пусть точка М₁ принадлежит прямой М₁, проходящей через А параллельно ВС (рис. 83). Тогда = М₁А h_b = М₁А h_c = .

Пусть точка М₂ принадлежит медиане АК треугольника АВС. Тогда S_ABK = ВК h_а = СК h_а = S_ACK, = ВК = = СК = . Значит, = S_ABK – = S_ACK – =  .

Аналогично сравниваются площади треугольников МАВ и МАС, если точка М расположена на луче АК за точкой А и на луче АК за точкой К.

Пусть теперь точка N не принадлежит ни одной из названных прямых l и АК. Тогда точка N может находиться:

1) в полосе между прямыми l и ВС, включая прямую ВС;

2) ниже прямой ВС (точки N и В) лежат по разные стороны от ВС;

3) выше прямой l (точки N и В) лежат по разные стороны от прямой l.

П усть точка N лежит в полосе между l и ВС внутри треугольника АВС (рис. 84). Тогда один из отрезков СN или ВN, пусть ВN, пересекает медиану АК в точке N₁.

Поскольку = и  N₁АВ – часть  NАВ,  NАС – часть  N₁АС, то S_NAB > =   > S_NAC.

Значит, ни одна из внутренних точек треугольника АВС, кроме точек медианы АК не принадлежит искомому ГМТ.

П усть теперь точка N так же находится в полосе между l и АС, но вне треугольника АВС (рис. 85). Тогда или отрезок NС пересекает АВ, или отрезок NВ пересекает АС. Пусть NС пересекает АВ в точке Р.

Если в сравниваемых треугольниках NАВ и NАС общую часть – треугольник NАР заменить на треугольник РВС, то соотношения между площадьми исходных треугольников NАВ и NАС и полученных треугольников NВС и АВС будут одинаковыми.

Поскольку S_NВС.= ВС h_N < ВС h_A = S_АВС, то S_NAB < S_NAC. Значит, точка N не принадлежит искомому ГМТ.

Пусть точка N опять находится в полосе между l и АВ, N  К, и точка N принадлежит ВС, или одному из отрезков АВ или АС. Тогда очевидно, что S_NAB  S_NAC.

Пусть точка N лежит ниже прямой ВС, причем отрезок АN пересекает отрезок ВС в точке R (рис. 86). Поскольку RВ > RС, то S _ABR = ВR h_A > CR h_A = S_АСR ,

S_NBR.= ВRh_N > CR h_N = S_NСR .

Значит, S_NAB = S_ABR.+ S_NBR.> S_АСR + S_NСR = S_NAC.

Если точка R совпадает с В или S, то, очевидно, что S_NAB = S_NAC. Значит, такая точка N не принадлежит искомому ГМТ.

П усть N лежит ниже прямой ВС и отрезок АN не пересекает отрезок ВС. Пусть точка пересечения отрезка АN с прямой ВС принадлежит лучу ВС (рис. 87). В этом случае треугольник NАС является частью треугольника NАВ, поэтому S_NAB > S_NAC. Значит, такие точки N искомому ГМТ не принадлежат.

П усть теперь точка N лежит выше прямой l, причем NС пересекает АВ или NВ. Пусть NС пересекает АВ в точке Q (рис. 88). В этом случае, как и для рис. 85, получим

S_NAB – S_NAC = S_NQB – S_AQC = S_NBC – S_ABC =

= ВC h_N – ВC h_A = ВC (h_N – h_A) > 0.

Поэтому все такие точки искомому ГМТ не принадлежат.

П усть точка N лежит выше прямой l и отрезки NВ и АС, а так же NС и АВ не имеют общих точек (рис. 89). Пусть прямая NА пересекает ВС в точке Т, отличной от К. Тогда ВТ > СТ. Имеем S_NAB = NA h_B > NA h_C = S_NAC, поскольку в подобных прямоугольных треугольниках ВВ₁Т и СС₁Т ВТ > СТ, а значит, ВВ₁ = h_B > h_C = СС₁. Поэтому все такие точки искомому ГМТ не принадлежат.

Таким образом, для каждой точки М, принадлежащей прямой l или прямой ВК, площади треугольников МАВ и МАС равны, а если точка N не принадлежит этим прямым, то площади треугольников NАВ т NАС разные.

Теорема 4. Для каждого треугольника радиус R описанной около него окружности и радиусы r вписанной и r_а, r_b, r_c вневписанных окружностей связаны павенством 4R = r_а + r_b + r_c – r.

Доказательство. С учётом теорем 1 и 2 получим

= = =

= (((a+b)² – c)²) + (c² – (a – b)²) = 4ab = 4 = 4R.

Теорема 5. Произведение радиусов вписанной и вневписанных окружностей в треугольник равно квадрату его площади.

Имеем r r_а r_b r_c = = = S².

Теорема 6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S = d₁d₂ sin .

Д оказательство. Пусть d₁ и d₂ – диагонали четырёхугольника АВСD и  – угол между нимиі (рис. 90). Тогда

S_ABCD = S_ABC + S_ADC = AC h_B + AC h_D =

= AC (h_B + h_D) = AC (BQ sin  + DQ sin ) =

= AC (BQ + DQ) sin  = = AB BD sin .

Теорема 7. Если в двух треугольниках по две стороны размещены на пересекающихся прямых, то их площади относятся как произведения этих сторон треугольников.

Д оказательство. Пусть по две стороны в треугольниках АМN и АРQ лежат на прямых АМ и АN, например, как на рис. 91.

Тогда , поскольку

sin PAQ = sin (180 – MAN) = sin MAN.

Доказательство остаётся в силе и при других возможных размещениях треугольников.

Т еорема 8 (Чевы). Для того, чтобы прямые АА₁, ВВ₁, СС₁, где А₁, В₁, С₁ – точки соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке Q (рис. 92). Тогда треугольник АВС делится на 6 треугольных частей. Поскольку к треугольным частям, прилегающим к одной стороне треугольника АВС, можно применить теорему 6, то

; ; .

Поэтому .

Последний переход от отношений площадей к отношению произведений сделан на основании теоремы 6.

Пусть теперь точки А₁, В₁, С₁ выбраны на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС так, что выполняется равенство .

Пусть Q – точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁, и С₂ – точка пересечения луча СQ с отрезком АВ (рис. 93).

Т огда, по доказанному ранее . С учётом условия получим: , откуда .

Полученное равенство показывает, что точки С₁ иі С₂ делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Поэтому они совпадают и СС₁ проходит через точку Q.

Следствие 2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

По теореме о биссектрисе имеем ; ; .

Тогда = = 1.

По теореме Чевы биссектрисы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке.

Следствие 4. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Имеем

АС₁ = АС cos A, C₁B = BC cos B, BA₁ = AB cos B,

A₁C = AC cos C, CB₁ = BC cos C, B₁A = AB cos A.

Поэтому = = 1.

Следствие 5. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него круга, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Жергона.

П оскольку касательные к кругу, проведенные из одной точки, равны, то (рис.94)

АС₁ = B₁A, C₁B = BA₁, A₁C = CB₁.

Поэтому = = 1.

Следствие 6. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных в него окружностей, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Нагеля.

И меем ВА₁ = ВР = АР – АВ = р – с (рис. 95), поскольку АР = р (следствие 13.1). Аналогично, А₁С = р – b, СВ₁ = р – а, В₁А = р – с, АС₁ = р – b, С₁В = р – а. Поэтому = = 1.

Прямые, проходящие через вершины треугольника и пересекающиеся в одной точке, называются прямыми Чевы или чевианами.

Следствие 7. Чевианы, проходящие через точку Нагеля, делят периметр треугольника пополам.

Действительно,

АВ + ВА₁ = с + (р – с) = р, ВС + СВ₁ = а + (р – а) = р, СА + АС₁ = b + (р – b) = р.

Следствие 8. Прямые, выходящие из вершин треугольника и делящие противолежащие стороны пропорционально прилежащим углам, являются чевианами.

И меем ; ; .

Поэтому = = 1.

Следствие 9. Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника с серединами прямых Чевы, проведённых из противолежащих вершин, являются чевианами.

П усть АА₁, ВВ₁, СС₁ – чевианы треугольника АВС, А₂, В₂, С₂ – середины сторон ВС, АС, АВ, А₃, В₃, С₃ – середины чевиан АА₁, ВВ₁, СС₁. А₂А₃ – отрезок, соединяющий середину стороны ВС и середину чевианы из вершины А, В₂В₃ – отрезок, соединяющий середину стороны АС середину чевианы из вершины В, С₂С₃ – отрезок, соединяющий середину стороны АВ середину чевианы из вершины С (рис.97).

По теореме Чевы получим = 1, откуда = 1, или = 1.

Отрезки В₂В₃, С₂С₃, А₂А₃, выходящие из вершин треугольника А₂В₂С₂, из-за последнего равенства удовлетворяют теореме Чевы, и поэтому пересекаются в одной точке.

Следствие 10 (Теорема Шлёмильха). Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его высот, являются чевианами.

Легко заметить, что справедливым является утверждение, обратное следствию 9:

Если в треугольнике А₂В₂С₂, образованном средними линиями треугольника АВС, проведены чевианы А₂А₃, В₂В₃, С₂С₃, то прямые АА₃, ВВ₃, СС₃, являются чевианами треугольника АВС.

Задача 3. Доказать, что площадь любого треугольника выражается формулой

S = ,

где а – сторона треугольника, r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей, которые касаются сторон b и c соответственно.

Решение. Поскольку r_b = , r_с = , то = =

= =   = = = S.