§ 12. Четырёхугольник

В школьном курсе геометрии изучаются только отдельные виды четырёхугольников.

Теорема 1 (Вариньона). Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам.

Доказательство. П усть M, N, P, Q – середины сторон четырёхугольника АВСD (рис. 66). Поскольку MN и PQ – средние линии треугольников АВD и СВD, то MN || BD || PQ, MN = BD = PQ.

Аналогично получим, что

NP || АС || MQ, NP = АС = MQ.

Теорема 2. Около четырёхугольника, образованного биссектрисами углов данного выпуклого четырёхугольника, можно описать окружность.

Д оказательство. Пусть биссектрисы AQ, DQ, BS и CS

четырёхугольника АВСD образуют четырёхугольник

PQRS (рис. 67).

Докажем, что  Q +  S = 180. Действительно,

 Q +  S = 180 – ( QAD +  QDA) + 180 –

– ( SBC +  SCB) = 360 –  ( BAD +  CDA +

+ ABC +  DCB) = 360 – 360 = 180.

Теорема 3 (Бретшнайдера). Квадрат произведения диагоналей четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противолежащих сторон без удвоенного произведения всех его сторон на косинус суммы двух противолежащих углов.

Д оказательство. Пусть a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника АВСD (рис. 68), m и n – его диагонали. Построим точки М и К так, чтобы

 ADМ =  BAС,  DАМ =  BСА, а  КАВ =   AСD,  КВА =  САD и  КАМ =  BAD +  BСD.

Тогда  АDМ  САВ,  АКВ  СDA.

Значит, , , , .

Тогда АК = , АМ = ;

КВ = = DМ.

Поскольку  КBD +  BDМ = ( КВА +  АBD) +

+ ( BDА +  ADМ) = ( АBD +  BDА) + ( КВА+

+  ADМ) = ( АBD +  BDА) +( DАС +  САВ) =

=  АBD +  BDА +   BAD = 180, то ВК || DМ и четырехугольник ВDМК параллелограмм.

Поэтому КМ = ВD = n. По теореме косинусовприменённой к треугольнику АКМ, получим

КМ² = АК² + АМ² – 2 Ак АМ cos  KAM, или

n ² = + – 2 + cos ( A +  C), или

m²n² = a²c² + b²d² – 2 abcd cos ( A +  C).

Теорема 4 (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в круг четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство. Пусть четырёхугольник АВСD вписан в окружность (рис. 69). На диагонали ВD возьмем точку М так, что  МСD =  ВСА. Тогда, учитывая, что  ВАС =   ВDС, получим  АВС  DМС. Поэтому .

Из подобия  САD  СВМ ( DАС =  МВС,

 АСD =  DСМ –  АСМ =  АСВ –  АСМ =   МСВ) получим .

Из полученных пропорций находим

АВ СD = АС МD и ВС АD =  АС МВ, откуда

АВ СD + ВС АD = АС (МD + ВМ) = АС ВD.

Отметим, что теорему Птолемея можно получить в качестве непосредственного следствия из теоремы Бретшнайдера. Действительно, для вписанного в круг четырёхугольника  А +  С = 180, поэтому

m²n² = a²c² + b²d² – 2 abcd (–1) =  (ас + вd)².

Теорема 5. Если произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть a, b, c, d – длины последовательных сторон четырёхугольника, m и n – длины его диагоналей, А и С противолежащие углы. Пусть так же mn = aс + bd. Тогда m²n² = a²c² + b²d² + 2 abcd.

По теореме Бретшнайдера имеем

m²n² = a²c² + b²d² – 2 abcd cos ( A +  C).

Сравнив равенства, получим cos ( A +  C) = –1, откуда  A +  C = 180º.

Следствие 1. В любом четырёхугольнике произведение его диагоналей не превышает суммы произведений его противолежащих сторон и больше разности этих произведений.

Действительно, по теореме Бретшнайдера

m²n² = a²c² + b²d² – 2 abcd cos ( A +  C).

Поскольку –1 < cos ( A +  C) < 1, то

a²c² + b²d² – 2 abcd < m²n² < a²c² + b²d² + 2 abcd,

или |aс – bd| < mn < aс + bd.

Следствие 2. Утверждение теоремы Птолемея остаётся в силе, если пункты А, В, С, D лежат на одной прямой (рис. 70) и АВ = а, ВС = b, СD = с.

Д окажем, что АС ВD = АВ СD + АD ВС.

Имеем АС ВD = (а + b) (b + c) = ab + b² + ac + bc =

= ac + b (a + b + c) = АВ СD = ВС AD.

Отметим, что если прямую рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса, то следствие 2 можно рассматривать как частный случай теоремы Птолемея.

Задача 1 (Теорема Помпея). Доказать, что отрезки, соединяющие произвольную точку М плоскости с вершинами правильного треугольника, могут служить сторонами треугольника АВС, если точка М не принадлежит описанной около треугольника АВС окружности. Найти угол треугольника, образованного отрезками АМ, ВМ и СМ, противолежащий стороне ВМ, если  АМС = .

Р ешение. По теореме Бретшнайдера, применённой к четырёхугольнику АМСВ, получим

АС² ВМ² = АВ² МС² + ВС² АМ² –

– 2 АВ ВС СМ МА cos (60º +  АМС).

Учтя, что АВ = ВС = СА, будем иметь

ВМ² = МС² + АМ² – 2 СМ МА cos (60º +  АМС).(1)

Поскольку точка М не принадлежит описанной около треугольника АВС окружности, то  АМС = 120º. Кроме того, 60º +  АМС > 0º. Поэтому

–1 < cos (60º +  АМС) < 1 и МС² + АМ² – 2 СМ МА < ВМ² < МС² + АМ² + 2 СМ МА,

или (MC – MA)² < ВМ² < (MC + MA)², или |MC – MA| < ВМ < |MC + MA|

Отсюда следует, что существует треугольник со сторонами МА, МВ, МС. Из равенства (1) получим, что угол, противолежащий стороне ВМ, равен 60º +.

Теорема 6. Диагонали вписанного в круг четырёхугольника относятся как суммы произведений сторон, выходящих из концов этих диагоналей.

Доказательство. Пусть четырёхугольник АВСD вписан в круг, АВ = а,

ВС = b, СD = с, DА = а, АС = m, ВD = n (рис. 72).

Образуем ещё два четырёхугольника с такими же сторонами, вписанные в круг такого же радиуса (рис. 73, 74).

Отметим, что существует только три различных вписанных четырёхугольника с данными сторонами a, b, c, d. Действительно, если зафиксировать одну из сторон, например а, то разные четырёхугольники будут отличаться стороной, противолежащей стороне а, а таких возможностей 3 – b, c, d.

Очевидно, что дуга А₂В₂С₂ на рис.74 стягивается той же хордой m, что и дуга АВС на рис. 72, дуга В₁С₁D₁ – той же хордой n на рис. 73, что и дуга ВСD на рис. 72. Кроме того, дуга А₁В₁С₁ на рис. 73 стягивается той же хордой k, что и дуга А₂В₂С₂ на рис. 74. Применив к вписанным четырёхугольникам А₁В₁С₁D₁ и А₂В₂С₂D₂ теорему Птолемея, получим равенства nk = ab + cd, mk = bc + ad, откуда .

Отметим, что приведённое доказательство существенно отличается от доказательств, рассмотренных ранее, в которых использовалась фигура, описываемая условием теоремы, возможно с дополнительными построениями. В рассмотренном доказательстве образованы новые фигуры, которые только частично содержат элементы исходной фигуры.

Задача 2. (Последовательные) стороны вписанного в круг четырёхугольника равны a, b, c, d. Найти диагонали четырёхугольника.

Решение. Заметим, что условием задачи – длинами сторон и вписанностью – четырёхугольник определен с точностью следования сторон. Возможны только три случая: (a, b, c, d) (рис. 72), (a, c, b, d) (рис. 73), (a, b, d, c) (рис. 74).

Для случая (a, b, c, d) диагонали четырёхугольника связаны равенствами:

xy = aс + bd (по теореме Птолемея), (по теореме).

Перемножив эти равенства, получим х² = , а поделив первое равенство на второе, получим у² = , откуда

х₁ = ; у₁ = .

Для случая (a, c, b, d) аналогично получим:

х₂ = ; у₂ = .

Наконец, для случая (a, b, d, c) будем иметь:

х₃ = ; у₃ = .

Теорема 7. Если четырёхугольник АВСD описан около круга, то суммы противолежащих его сторон равны: АВ + СD = АD + ВС.

Д оказательство. Пусть M, N, P, Q – точки касания круга со сторонами четырёхугольника АВСD (рис. 75).

Поскольку касательные к кругу, проведённые из одной точки, равны, то АМ = АQ, BM = BN, CP = CN, DP = DQ. Сложив почленно эти равенства получим

АМ + ВМ + СР + DР = АQ + ВN + СN + DQ, или

АВ + СD = АD + ВС.

Теорема 8. Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать круг.

Д оказательство. Пусть четырёхугольник АВСD такой, что

АВ + СD =  АD + ВС. (1)

Проведём биссектрисы углов А и В. Тогда точка их пересечения находится на одинаковом расстоянии от сторон АD, АВ и ВС этого четырёхугольника. Проведём окружность с центром О и радиусом, равным расстоянию от точки О до прямой АВ. Этот круг касается сторон АD, АВ и ВС данного четырёхугольника. Докажем, что круг касается и стороны СD. Пусть СD₁ – вторая касательная, проведённая из точки С (рис. 76). Тогда по теореме 7

АВ + СD₁ = ВС+ АD₁. (2)

Если точка D принадлежит отрезку АD₁, то

CD < DD₁ + CD₁. (3)

Вычтя из равенства (2) равенство (1), получим СD₁ – CD = АD₁ – АD, или, учтя, что АD₁ – АD = DD₁, СD₁ – CD = DD₁, что противоречит условию (3).

Если же точка D₁ принадлежит отрезку АD, то

CD₁ < DD₁ + CD. (4)

После вычитания равенства (2) из равенства (1) получим СD – CD₁ = АD – АD₁, или, с учётом того, что АD – АD₁ = DD₁: СD – CD₁ = DD₁ что противоречит (4).

Поэтому точки D и D₁ совпадают.

Теорема 9. Если четырёхугольник АВСD описан около круга с центром О, то

 AОВ +  ВОC = 180º,  AОD +  ВОC = 180º.

Д оказательство. Пусть точки M, N, P, Q – точки касания сторон четырёхугольника АВСD и вписанного в него круга с центром О (рис. 77). Тогда из равенств

 АОМ =  АОQ,  ВОМ =  ВОN,

 СОN =  СОР,  DОP =  DОQ получим:

 AОМ =  AОQ,  BОМ =  BОN,  CОP =  CОN,

 DОP =  DОQ, откуда

 AОB +  СОD =  AОМ +  BОM +  CОP +  DОP =

=  AОQ +  BОN +  CОN +  DОQ =  BОC +   AОQ.

Поскольку  AОB +  СОD +  BОC + +  AОD = 360º, то  AОВ +  ВОC =  AОD +  ВОC = 180º.