Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки.

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Если сторона определенного квадрата равняется a , а сторона искомого квадрата x , то, согласно условию задачи, будем иметь:

Откуда

Чтобы построить надо провести гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Далее отрезок, равный увеличить в a раз. Если ребро данного куба положить равным a , а ребро искомого куба – x, то, согласно условию задачи будем иметь:

Откуда

Однако все старания построить циркулем и линейкой не увенчались успехом.

Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств

1.Решение Гиппократа Хиосского при помощи «вставок»

Одним из первых древнегреческих геометров, сделавшим значительный шаг в решении задачи об удвоении куба, был Гиппократ Хиосский (5 в. До н.э.). Решение стереометрической задачи, каковой является делосская задача об удвоении куба. Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в нахождении двух средних пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого, т.е. к нахождению таких двух отрезков x и y . Поскольку a, x, y, 2a –геометрическая прогрессия, то a/x=x/y=y2a. Откуда

и . Следовательно, , или . Выходит, что x и есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром a в два раза. Однако, как и следовало ожидать, Гиппократу не удалось отыскать ребро удвоенного куба x с помощью геометрического построения, прибегая только к циркулю и линейке, но ему вполне удалось, как мы убедились выше, стереометрическую задачу свести к плоской задаче на отыскание двух «вставок» x и y между a и 2а, причем a-ребро данного куба, а x – искомое ребро удвоенного куба.

2.Решение Платона

Рассмотрим решение делосской задачи, приписываемое Платону. Это решение основано на следующей лемме:

• Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:

Доказательство: Пусть ABCD- прямоугольная трапеция, у которой и . В этом случае докажем, что .

Из того, что и прямоугольные, а OB и OA соответственно их высоты, получаем:

(1)

И

(2)

Из (1) и (2), как следствие, получаем:

.

Что и требовалось доказать.

3.Решение Буонфальче (приближенное решение)

Буонфальче дает одно из самых простых приближенных решений задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки (точного решения этой задачи при помощи циркуля и линейки, как известно, дать нельзя).

Пусть дан куб с ребром a и требуется найти ребро x удвоенного куба. Решение выполним приближенно при помощи только циркуля и линейки. Строим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной, равной a. Сторону AC= делим на 6 равных частей и находим на катете BC от точки C к точке В точку D с таким расчетом, чтобы выполнялось равенство . Соединив A с D, получим отрезок AD, который для кратности обозначим через x. Теперь подсчитаем, чему равен x.

По теореме Пифагора будем иметь:

Итак, , где

Следовательно, ребро удвоенного куба приблизительно равно ,

Если ребро данного куба равно a. Таким образом, если данный куб имеет ребро а, равное отрезку AB, то x- искомое ребро удвоенного куба- будет приблизительно равняться отрезку AD, который отличается от истинного значения искомого ребра меньше, ем на .