5. Аналитические методы оптимизации. Метод множителей Лагранжа.

Аналитические методы оптимизации основаны в поиске минимума функции.

Постановка задачи поиска минимума функции содержит целевую функцию f(x’) где х’=(x1..xn) на n-мерном пространстве R^n. Эта функция определяется на множесве допустимых решений, в которых x прин. R^n.

Нужно найти такой вектор х из множества допустимых решений, которое будет соответствовать минимальное значение целевой функции на этой функции:

f(x’*)->min f(x’).

• Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — :

где .

• Составим систему из уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и .

• Если полученная система имеет решение относительно параметров и , тогда точка может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

6. Задачи нелинейного программирования. Численные методы безусловной минимизации одномерных функций(метод сканирования, метод дихотомии, метод золотого сечения, метод Фибоначчи).

Метод дихотомии. Метод относится к последовательным стратегиям. Задается начальный интервал неопределенности и требуемая точность. Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках. Для их нахождения текущий интервал неопределенный интервал делится пополам и в обе стороны от середины откладывается по eps/2, где eps – малое положительное число. Условия окончания процесса поиска стандартные: поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины.

Метод золотого сечения. Метод относится к последовательным стратегиям. Задается начальный интервал неопределенности и требуемая точность. Алгоритм уменьшения интервала опирается на анализ значений функции в двух точках. В качестве точек вычисления функции выбираются точки золотого сечения. Тогда с учетом свойств золотого сечения на каждой итерации, кроме первой, требуется только одно новое вычисление функции. Условия окончания процесса поиска стандартные: поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины.

Точка производит «золотое сечение» отрезка, если отношение длины всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей.

Метод Фибоначчи. Числа Фибоначчи определяются по формуле: F0=F1=1, Fk=Fk-1 + F(k-2)

Метод относится к последовательным стратегиям. Задается начальный интервал неопределенности и количество N вычислений функции. Алгоритм уменьшения интервала опирается на анализ значений функции в двух точках. Точки вычисления функции находятся с использованием последовательности из N+1 чисел Фибоначчи. Как в методе золотого сечения, на первой итерации требуются два вычисления функции, а на каждой последующей – только по одному. Условия окончания процесса поиска стандартные: поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины.