1. Основные понятия оптимизации: целевая функция, управляющие параметры, условия ограничения.

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта решения из всех возможных.

В процессе решения задачи оптимизации необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу – управляющие параметры. X1…xn

Число n параметров характеризует размерность задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения осуществляется при сравнении альтернативных решений и производится с помощью зависимой величины, которая определяется этими управляющими параметрами f(x1, …xn) – называется целевой функцией или критерием оптимальности.

Изменение управляющих параметров допускается в некоторых пределах, которые могут определяться технологическими особенностями производства, наличием ресурсов или физическими законами.

2. Классификация оптимальных задач.

Можно выделить два типа задач оптимизации — безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции F.1) от п действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве а n-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, — это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве а. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

3. Принципы и примеры моделирования экономических и технических проблем в форме задач оптимизации.

В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция — это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Примерами целевой функции, встречающимися в инженерных и экономических расчетах, являются прочность или масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т. п.

В случае одного проектного параметра (п = 1) целевая функция F.1) является функцией одной переменной, и ее график — некоторая кривая на плоскости. При п = 2 целевая функция является функцией двух переменных, и ее график — поверхность в трехмерном пространстве.

4. Постановка задачи выпуклого программирования. Определение и примеры выпуклых множеств и выпуклых функций. Экстремальные свойства выпуклых функций (теорема о глобальном и локальном минимуме).

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их произвольную линейную комбинацию.

Геометрический смысл состоит в том, что множество вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок их соединяющий. Примерами выпуклых множеств являются: прямая, шар, куб, плоскость.

Пересечение нескольких множеств есть выпуклое множество.

Множество Х называется выпуклым если оно содержит всякий отрезок, концы которой принадлежит Х.

Функция f(x) определенная на выпуклом множестве Х называется выпуклой, если f(lambda*x1+(1-lambda)*x2) <= lambda*f(x1)+(1-lambda)f(x2)

Функция f(x) определенная на выпуклом множестве Х называется строго выпуклой, если f(l*x1+(1-l)*x2) < l*f(x1)+(1-l)*f(x2)

Функция f(x) называется выпуклой, если она целиком лежит не выше отрезка соединяющего две его произвольные точки.

Функция f(x) называется строго выпуклой, если целиком лежит ниже отрезка соединяющего две его точки, но не совпадающего.

Точка x* представляет глобальный минимум функции f(x) на множестве Х, если х*принХ и f(x*)<=f(x)

Точка х* представляет локальным минимум функции f(x) на множестве Х, если при некотором достаточно малом eps>0 для всех х!=х*, удовлетворяющих условию: abs(x-x*)<=eps. Выполняется равенство: f(x*)<=f(x)