9.2 Елементи двійкової арифметики

Полем називається множина математичних об'єктів, для яких визначені операції додавання, віднімання, множення й ділення.

Розглянемо найпростіше поле з двох елементів 0 і 1. Визначимо для нього операції додавання і множення так:

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0;

0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1.

Визначені таким чином операції додавання та множення називають додаванням та множенням за модулем 2 (mod 2).

З рівності 1+1=0 випливає, що -1=1 та 1+1=1-1, а з рівності 1*1=1, що 1:1=1.

Алфавіт з двох символів 0 і 1 з означеними для них операціями додавання й множення за mod 2 називається двійковим полем GF(2). Для поля GF(2) застосовні усі методи лінійної алгебри, у тому числі матричні операції.

Операція додавання за mod 2, як правило, позначається символом , проте у подальшому у даному курсі розглядається тільки додавання за mod 2, тому використовується звичайний знак +.

9.3 Код з перевіркою на парність

Найпростіший лінійний блоковий код - це (n-1, n) - код з контролем парності. Цей код, зокрема, широко використовується у модемах.

Кодування полягає у додаванні до кожного байта 9-го контрольного біта так, щоб доповнити кількість одиниць у байті до наперед вибраного для коду парного (even) або непарного (odd) значення.

Наприклад, задана інформаційна послідовність (101), тоді кодовим словом буде (1010), де перевірний символ знаходиться додаванням за mod 2 символів інформаційної послідовності. Якщо число одиниць в інформаційній послідовності парне, то значенням суми за mod 2 буде 0, якщо непарне - то 1, отже, перевірний символ доповнює кодову послідовність так, щоб кількість одиниць в ній була парною.

Математично схему кодування з перевіркою на парність можна записати так:

Е(m₁, ... , m_k)=(m₁, ..., m_k, m_k+1),

де перевірний символ

Отже, кількість одиниць в прийнятій послідовності повинна бути парною, тобто .

Схему декодування можна записати так:

Уведемо поняття двійкового симетричного каналу, для якого помилки у бітах рівноймовірні й незалежні. Схематично двійковий симетричний канал зображений на рис. 3.1, де р - ймовірність безпомилкової передачі біта повідомлення; q = 1-p - ймовірність помилкової передачі.

Для такої схеми передачі даних ймовірність того, що у n-позиційному коді виникне тільки одна помилка, становить .

У загальному випадку ймовірність передачі n бітів з k помилками визначається за формулою Бернуллі

(3.1)

де - кількість сполук з n елементів по k.

Додамо, що код з перевіркою парності не виявляє помилки кратності 2, оскільки, якщо у переданій послідовності виникло 2, 4 і т. д. помилки, незалежно, в якій позиції, то загальне число одиниць в прийнятій послідовності стане парним, і помилки виявлені не будуть. Проте ймовірність двократної помилки значно менша, ніж поодинокої. Покажемо це на прикладі.

Приклад Перевірка парності при k=2 реалізується таким кодом: 00→000, 01→011, 10→101, 11→110.

Позначимо через р ймовірність правильної передачі, q – ймовірність помилки у біті повідомлення.

Тоді ймовірність виникнення хоча б однієї помилки у кодовій послідовності завдовжки 3 біти P=q³+3pq²+3p²q. З них не будуть виявлені помилки у двох бітах, що не змінюють парності, ймовірність яких P_пом=3pq².

Ймовірність помилкової передачі повідомлення з двох бітів без використання контролю парності P_пом=q²+2pq.

Для достатньо надійного каналу передачі, тобто при q << 1, 3pq² << q²+2pq, що свідчить про доцільність використання завадостійкого кодування з виявленням поодиноких помилок.

Не зважаючи на простоту і не дуже високу ефективність, коди з перевіркою на парність широко використовуються у системах передачі і зберігання інформації. Їх цінують за невисоку надлишковість: достатньо додати до інформаційної послідовності один перевірний символ - і можна визначити, чи є у прийнятій послідовності помилка. Проте локалізувати місце виникнення помилки, й відтак її виправити неможливо. Можна лише повторити передачу помилкової комбінації.