3. Измерения и их виды. Методика обработки прямых и косвенных измерений

Измерение – это определение значения физической величины опытным путём при помощи специальных технических средств.

На практике задача измерения включает не только определение числа, выражающего отношение измеряемой величины к общепринятой единице измерения, но и определение при этом допущенной погрешности.

Непосредственный процесс измерения состоит из наблюдения и отсчёта.

Цель наблюдения – фиксация факта наступления какого-либо определённого события. После наступления ожидаемого события производится считывание показания прибора со шкалы лимба или цифрового табло, определение массы эталонного вещества (гирь) и т.д.

Наличие такой связи между отсчётом и значением измеряемой величины характеризуется уравнением измерения. По виду этих уравнений измерения можно разделить на три группы: прямые, косвенные и совместные.

При прямом измерении уравнение имеет вид:

y=Cx , (2.1)

где у – значение измеряемой величины в принятых для неё единицах; С – цена деления шкалы или единичного показания цифрового табло, переводной коэффициент от единицы меры свойства эталонного вещества к значению измеряемой величины в единицах измеряемой величины; х – отсчёт по измерительному устройству (в делениях шкалы или непосредственно на цифровом табло) или количественная характеристика какого-либо свойства эталонного вещества (например, масса гирь при взвешивании).

При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных (измерение длины линейкой, углов – транспортиром или измерение какой-либо величины прибором, шкала которого проградуирована в единицах измеряемой величины).

Для косвенного измерения характерно уравнение

z=f (x, y, ...; a, b, ...), (2.2)

где z – значение измеряемой величины в принятых для неё единицах; х, у, ... – результаты прямых измерений; а, b, ... – физические константы и постоянные приборов.

Измерения, при которых число опытов и соответственно число уравнений измерений равно числу измеряемых величин, называют однократными, если же число опытов и соответственно число уравнений измерения превышает число измеряемых величин – многократными. Измерения проводятся многократно, когда необходимо уменьшить случайную ошибку измерений.

В зависимости от точности результатов можно выделить три класса измерений: 1) эталонные, результат которых должен иметь максимально возможную точность при достигнутом уровне техники и науки (измерения физических констант); 2) контрольно-поверочные, при которых ошибка результата не превышает заранее заданного допуска (измерения в поверочных или контрольно- измерительных лабораториях при поверке приборов); 3) технические, ошибка результатов которых определяется характеристиками измерительного комплекса.

Измерение, основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных величин и (или) использовании значений физических констант и функциональных зависимостей, называется абсолютным. Размерность результата абсолютных измерений та же, что и измеряемой величины (например, измерение плотности тела).

Относительным называется измерение отношения величины к одноимённой величине, играющей роль единицы. Такое сравнение позволяет установить, во сколько раз (k) одна величина больше другой. Уравнение относительных измерений: y = kx. Примеры относительных измерений: измерение массы тела на весах, длины различного рода линейками, микрометрами, штангенциркулями; разности потенциалов – вольтметрами; силы тока – амперметрами и т.д.

В случае относительных измерений используются приборы, которые предварительно калибруются с помощью эталона единицы соответствующей величины. Таким образом, чтобы были возможны относительные измерения некоторых величин, необходимо создать эталоны единиц этих величин и с их помощью произвести калибровку приборов.

При измерении любой физической величины ее значение всегда получается с ошибкой.

Ошибки (или погрешности) бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки - это неверные результаты, возникающие вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности измерительного прибора. Этих ошибок можно избежать при внимательном наблюдении за показаниями приборов, тщательной записи отсчетов по приборам.

Систематические ошибки - могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта и т.д.) с влиянием различных физических условий (потока воздуха, разности температур и т.д.) на эксперимент. Систематические ошибки сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические ошибки опыта могут быть устранены заменой неисправных приборов на исправные, либо изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений.

Случайные ошибки - вызываются большим количеством причин, характер и величину влияния которых заранее определить нельзя (сухое трение, а также несовершенство наших органов чувств, люфт в механических приспособлениях, тряска и т.д.). Случайные ошибки меняют величину и знак от опыта к опыту. Случайные ошибки принципиально неустранимы, однако можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Для этого необходимо произвести несколько измерений, причем, чем больше измерений будет произведено, тем точнее можно будет оценить истинное значение измеряемой величины. В качестве наилучшего значения для измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов.

Мы будем считать, что грубые и систематические ошибки при измерениях исключены, и потому в дальнейшем будем рассматривать только случайные ошибки.

Прямыми измерениями называют такие измерения, при которых физические величины определяются непосредственно при помощи измерительных приборов.

Пусть х - измеряемая величина, х₁ х₂ … x_n - результаты отдельных измерений, а n - число отдельных измерений.

Среднее арифметическое x_ср. из этих результатов, то есть величина

(2.3)

является, как было указано, наиболее близкой к истинному значению измеряемой величины.

Разности называются абсолютными ошибками отдельных измерений и могут быть как положительными, так и отрицательными величинами.

Д ля определения средней абсолютной ошибки результата Δх_ср , берут среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных ошибок.

( 2.4)

Где Мы берем модули абсолютных ошибок, чтобы не допустить частичной или полной взаимной компенсации этих ошибок и вычислить максимальную погрешность.

О тношение средней абсолютной ошибки результата Δх_ср к его среднему значению х_ср называют средней относительной ошибкой (Е) измерений:

( 2.5)

Относительную ошибку выражают также в процентах: х100%

Результат измерений (х) записывают так:

Определение ошибок при косвенных измерениях. В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям.

Допустим, что нам необходимо измерить некоторую величину х. Из теории или опыта известно, что величина х связана функциональной зависимостью с некоторыми величинами а, b, c и т.д. Величины а, b являются непосредственно измеряемыми. Ошибка косвенно измеренной величины Δх зависит от ошибок D а, D b, D c. В простейшем случае используют метод "наихудшего" случая, то есть когда все ошибки случайно действуют в направлении максимального увеличения ошибки Δх.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими правилами (ограничимся случаем ): .

(2.6)

( 2.7)

( 2.8)

( 2.9)

( 2.10)

( 2.11)

Произведение очень мало и им можно пренебречь, тогда

( 2.12)

О тносительная ошибка:

( 2.13)

( 2.14)

( 2.15)

( 2.16)

В третьем члене знак изменен на обратный ("наихудший случай"). Таким образом:

( 2.17)

( 2.18)

Относительная ошибка . Итак, при сложении и вычитании складываются абсолютные ошибки Δ, а при умножении и делении складываются относительные ошибки.

Возведение в степень рассматривается как n-кратное умножение:

( 2.19)

( 2.20)

Д ля более сложных формул проще сначала найти относительную ошибку Е, а затем определить абсолютную ошибку Δх_ср по формуле.

( 2.21)

Результат измерения записывается в виде, определяемом формулой , где х истинное значение измеряемой величины.

При записи ошибки ее величину округляют до двух значащих цифр после запятой, если первая из них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. Абсолютную ошибку эксперимента редко удается определить с точностью лучше 20%. Округление от 0,14 до 0,1 изменяет величину погрешности на целых 40%, в то время как округление до 0,3 числа 0,26 или 0,34 изменяет ошибку менее чем на 15%.

При записи измеряемого значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании ошибки.

Данное правило необходимо применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении получен результат х = 0,400±0,002, то писать нули в конце числа 0,400 необходимо. Запись х = 0,4 означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего неизвестно, в то время как показали измерения, они равны нулю.

Необходимая точность расчетов определяется тем, что расчет не должен вносить в измерения дополнительной ошибки. Обычно в промежуточных расчетах сохраняется лишний знак, который при записи окончательного результата будет отброшен.

Следует отметить, что многократное повторение измерения для исключения случайных ошибок имеет смысл только в том случае, когда ошибки отдельных измерений превышают ошибку, даваемую прибором. Обычно считают, что наибольшая ошибка измерительного прибора равна половине цены деления шкалы этого прибора. Если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то это значит, что точность измерений приблизилась к точности прибора. В этом случае вместо абсолютных ошибок измерений берется ошибка измерительного прибора.