2. Виды моделирования. Методика построения расчетных моделей систем

При теоретических исследованиях прибегают к построению моделей функционирования объектов, используя для этого различные математические методы. При этом в зависимости от сложности исследуемого объекта и цели исследования строят физические, расчётные и математические модели.

Физические модели содержат полное описание поведения объекта.

В модели входят без упрощений все известные функциональные и прочие соотношения и связи между параметрами процесса, а также полученные экспериментальные данные, касающиеся рассматриваемых процессов. По этим причинам модели получаются неоправданно сложными и не вполне определёнными, что затрудняет возможность их применения для решения задач анализа или синтеза.

Расчётные модели строят на основе допущений. При этом сложные математические зависимости, описывающие процессы, заменяют приближенными (аппроксимированными) соотношениями, некоторые переменные величины – их средними значениями, нелинейные выражения – линейными и т.д. Упрощение реальных объектов и выполняемых ими функций позволяет затем использовать при моделировании формальные методы современной математики и вычислительной техники.

Под математическими моделями процессов понимают расчётные модели, построенные аналитическими методами или полученные экспериментально. Это могут быть также алгоритмы решения уравнений и составленные на их основе программы для ЭВМ.

В зависимости от метода построения модели разделяют на два типа: гносеологические (познавательные) и информационные.

Гносеологические модели описывают различные физические, технологические и другие процессы, протекающие в объектах.

Информационные модели – это математические модели, используемые для решения задач анализа или синтеза параметров систем, а также для решения задач управления объектами или системами с применением автоматизированных систем управления. Содержащаяся в них информация используется для выработки способов активных воздействий на объект для получения от него заданных (оптимальных) показателей.

Математическое описание процессов практически реализуется составлением алгоритмов, с помощью которых на ЭВМ получают численные характеристики процессов. Варьируя исходные данные, удаётся установить оптимальные условия процесса. Получив решение, необходимо выявить его соответствие изучаемому объекту, т.е. экспериментально проверить адекватность математической модели.

3. Детерминированные модели механических систем

Технологическое оборудование, применяемое в машиностроительном производстве, имеет различную сложность по конструкции и выполняемым процессам. Если оборудование оценивать по наличию независимых параметров (числу степеней свободы), то это могут быть системы первого, второго или более высокого порядка. Для анализа и синтеза их параметров строятся эквивалентные схемы и модели функционирования.

Простейшими системами являются системы первого порядка. Их поведение может быть описано уравнениями вида (при постоянных коэффициентах):

x’(t) = ax(t) + bu(t) , (1.1)

где x(t) – переменная состояния; u(t) – входное воздействие; a и b – постоянные коэффициенты; и если коэффициенты a и b являются функциями времени:

x(t) = a(t)x(t) + b(t)u(t). (1.2)

Если x(t) принять в качестве выходной переменной, то уравнение (1.1) можно записать в виде:

y(t) = cx(t) + du(t) , (1.3)

где с и d – вещественные скалярные константы.

Нелинейные системы первого порядка с переменными коэффициентами описываются дифференциальными уравнениями:

(1.4)

Если система имеет несколько выходов:

(5)

Технические системы, у которых массы перемещаются с ускорениями, относятся к динамическим системам, при этом возникают силы инерции, равные произведению масс на вторые производные от координат по времени. Такие системы относятся к системам второго порядка.

Поведение некоторых систем второго порядка можно описать (при входном воздействии u(t) и выходном сигнале y(t)):

– дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

(1.6)

– двумя связанными дифференциальными уравнениями первого порядка

(1.7)

и уравнением

y(t) = c₁x₁(t) + c₂x₂ (t) + du(t) . (1.8)

Модели функционирования реальных объектов, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (1.6), могут быть применены лишь в частных случаях. В общем же случае такие модели описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с переменными коэффициентами (1.2). Классический метод решения таких уравнений состоит в отыскании функций в виде бесконечных полиномов и определении функции методом вариации постоянных.

Метод интегрирования с помощью степенных рядов применяется для интегрирования дифференциальных нелинейных уравнений второго и более высокого порядка, если уравнения необходимо упростить или уравнения не приводятся к тем видам уравнений, методы, решения которых известны. При этом полагают, что искомая функция может быть представлена в виде:

(1.9)

где a_n (n = 0, 1, 2, ..., ∞) – постоянные коэффициенты; п – число членов ряда; х₀ и y₀ – начальные значения переменных х и у.

Для применения этого метода интегрирования, необходимо иметь, например, значения функции u(v -1) и производных от неё, где v – порядок системы при заданных в данных точках значениях аргумента.

Кроме того, необходимо в каждом конкретном случае дополнительно исследовать, выполняется ли условие сходимости ряда.