МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

"РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ"

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Лабораторная работа №3

По дисциплине

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

на тему:

«решение нелинейных уравнений»

ВАРИАНТ 3

Выполнил студент 2036гр.

Кутышова О.А.

Проверил Малинин Ю.Н.

Рязань 2014

Цель работы: изучение и сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; практическое решение уравнений на ЭВМ.

Метод половинного деления (метод дихотомии). Найдем корни уравнения: sin(x)-x+0.15 = 0

Интервал изоляции корня [0.5; 1] Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).. Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε. Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем. Определяем половину отрезка c=¹/₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия: 1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. 2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c]. 3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b]. Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен: b_n-a_n=¹/₂ⁿ(b-a) В качестве корня ξ. возьмем ¹/₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие: (b_n – a_n)/2 < ε то процесс поиска заканчивается и ξ = ¹/₂(a_n+b_n). Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0,5;1] разобьем на 10 подынтервалов. h₉ = 0,5 + 9*(1-0,5)/10 = 0.9 h₁₀ = 0,5 + (9+1)*(1-0,5)/10 = 1 Поскольку F(0.9)*F(1)<0, то корень лежит в пределах [0.9;1]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (0.9 + 1)/2 = 0.95 F(x) = 0.0134 F(c) = 0.0333 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.95 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (0.95 + 1)/2 = 0.975 F(x) = 0.0027 F(c) = 0.0134 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.975 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (0.975 + 1)/2 = 0.988 F(x) = -0.00285 F(c) = 0.0027 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.988 Итерация 4. Находим середину отрезка: c = (0.975 + 0.988)/2 = 0.981 F(x) = -5.7E-5 F(c) = -0.00285 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.981 Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)
1	0.9	1	0.95	0.03333	0.01342
2	0.95	1	0.975	0.01342	0.0027
3	0.975	1	0.9875	0.0027	-0.00285
4	0.975	0.9875	0.9813	-0.00285	-5.7E-5

Ответ: x = 0.9813; F(x) = -5.7E-5 Количество итераций, N = 4 Параметр сходимости.

Метод хорд Найдем корни уравнения: sin(x)-x+0.15 = 0

Интервал изоляции корня [0.5; 1] Используем для этого Метод хорд. Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0. Уравнение хорды: В точке x=x₁, y=0, в результате получим первое приближение корня Проверяем условия: 1. f(x1)f(b)<0, 2. f(x1)f(a)<0. Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x₁, получим: Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения: Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x₁. Здесь выполняется f(x₁)f(a)<0. Затем вводим b₁=x₁ (в формуле точку b заменяем на x₁), получим: Продолжая процесс, придем к формуле: Останов процесса: |x_n – x_n-1|< ε, ξ = x_n. Находим первую производную: dF/dx = cos(x)-1 Находим вторую производную: d²F/dx² = -sin(x) Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0.5;1] разобьем на 10 подынтервалов. h₉ = 0.5 + 9*(1-0.5)/10 = 0.95 h₁₀ = 0.5 + (9+1)*(1-0.5)/10 = 1 Поскольку F(0.95)*F(1)<0, то корень лежит в пределах [0.95;1]. Вычисляем значения функций в точке a = 0.95 f(0.95) = 0.0134 f ''(0.95) = -0.813 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x₀ = b = 1 Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))
1	0.95	0.01342	-0.03057
2	0.9806	0.000246	-0.000545

Ответ: x = 0.981-(-0.000545) = 0.98111193; F(x) = 4.0E-6 Параметр сходимости.

Метод итераций Найдем корни уравнения: sin(x)-x+0.15 = 0

Интервал изоляции корня [0.5; 1] Используем для этого Метод итераций. Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0. Заменим его равносильным уравнением x=φ(x). Выберем начальное приближение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x₁=φ(x₀). Подставляя теперь в правую часть вместо x₀ число x₁ получим число x₂=φ(x₁). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел x_n=φ(x_n-1) Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(x_n), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(x_n) = φ(lim(x_n-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ). Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности. Находим первую производную: dF/dx = cos(x)-1 Решение. Представим уравнение в форме: x = x - λ(sin(x)-x+0.15) Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = sin(x)-x+0.15 y = cos(x)-1 [0,5;1] Необходимое условие экстремума функции одной переменной. Уравнение f'₀(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает. Достаточное условие экстремума функции одной переменной. Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие: f'₀(x*) = 0 f''₀(x*) > 0 то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции. Если в точке x* выполняется условие: f'₀(x*) = 0 f''₀(x*) < 0 то точка x* - локальный (глобальный) максимум. Решение. Находим первую производную функции: y' = -sin(x) Приравниваем ее к нулю: -sin(x) = 0 x₁ = 0 Вычисляем значения функции на концах отрезка f(0) = 0 f(0.5) = 0 f(1) = -1+cos(1) Ответ: f_min = -1+cos(1), f_max = 0 max(dF/dx = cos(x)-1) ≈ 0 Значение λ = 1/(0) ≈ 0.1 Таким образом, решаем следующее уравнение: x-0.1(sin(x)-x+0.15) = 0 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0,5;1] разобьем на 10 подынтервалов. h₉ = 0,5 + 9*(1-0,5)/10 = 0.9 h₁₀ = 0,5 + (9+1)*(1-0,5)/10 = 1 Поскольку F(0.9)*F(1)<0, то корень лежит в пределах [0.9;1]. Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)
1	0.9	0.03333

Ответ: x = 1.0616673; F(x) = -0.0385 Сходимость:

Метод Ньютона

Найдем корни уравнения: sin(x)-x+0.15 = 0

Интервал изоляции корня [0.5; 1] Используем для этого Метод Ньютона. Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня x_n-1. Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом. Положим: x_n = x_n-1 + h_n-1 Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке x_n-1, получим: f(x_n) = f(x_n-1+h_n-1) = f(x_n-1) + f’(x_n-1)h_n-1=0 Отсюда следует: Подставим h_n-1 в формулу, получим: Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Находим первую производную: dF/dx = cos(x)-1 Находим вторую производную: d²F/dx² = -sin(x) Решение. Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0,5;1] разобьем на 10 подынтервалов. h₉ = 0,5 + 9*(1-0,5)/10 = 0.9 h₁₀ = 0,5 + (9+1)*(1-0,5)/10 = 1 Поскольку F(0.9)*F(1)<0, то корень лежит в пределах [0.9;1]. Вычисляем значения функций в точке a = 0.9. f(0.9) = 0.0333 f ''(0.9) = -0.783 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x₀ = b = 1 Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)
1	1	-0.00853	-0.4597	0.01855
2	0.9814	-0.000144	-0.4442	0.000325

Ответ: x = 0.9814 - (-0.000144) / (-0.4442) = 0.98112171; F(x) = -0 Параметр сходимости.

Контрольные вопросы: