34°. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Пусть дана π-плоскость , e₁ ,e₂ – ЛЗВ, тогда любой вектор а в плоскости π, можно представить в виде линейной комбинации:

a = xe₁ +ye₂ ,

причем данное представление единсивенное.

Пусть и - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и . Возможны два случая.

Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору . В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где - некоторое число, и, следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку и отложим от нее векторы , , (рис.11). Через точку P проведем прямую, параллельную прямой , и обозначим через A₁ точку пересечения этой прямой с прямой OA. По правилу треугольника _{1 1} . Но векторы ₁ и ₁ коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют числа и ? Такие, что ₁₌ ,A₁ . Следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Д окажем теперь, что коэффициенты и разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеем место другое разложение х₁ у₁ . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем ₁) ₁). Это равенство можно выполнять только в том случае, когда коэффиценты ₁ и ₁ равны нулю. В самом деле, если предложить, например, что х-х₁ 0, то из полученного равенства найдем , а значит, векторы и коллинеарны. Но это противоречие условию теоремы. Следовательно, х-х₁=0 и у-у₁=0, откуда х=х₁ и у=у₁. Это и означает, что коэффиценты разложения вектора определяются единственным образом.

34. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Теорема. Пусть дана некоторая плоскость π и векторы , (линейно независимость векторов), тогда любой вектор а в плоскости π можно представить в виде линейной комбинации a=x*e1+y*e2 причём данное представление единственное.

Доказательство:

АА1||OE2, AA2||OE1, зн. OA2AA1-параллелограмм = + .

OA1||OE1, ||OE1, =x* , OA2||OE2, || , =y* , =x* +y* .

Докажем, что такое разложение единственное:

1. Предположим, что это разложение не единственное.

=x1* +y1*

x* +y* +(-(x1* +y1* ))=

т.к. , - линейно независимость векторов, то

x-x1=0, x=x1;

y-y1=0, y=y1;

35. Теорема о разложении вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам.

Теорема. Пусть , - линейно независимые векторы, тогда любой вектор =x* +y* +z* , данное представление единственное.

36. Система координат на прямой. Координата вектора прямой. Координата точки прямой.

Рассмотрим некоторую прямую ∆ и векторы параллельные ей. Эти векторы будем откладывать только от точек лежащих на данной прямой, т.е. рассматриваем векторы прямой.

Опр. СК на прямой наз. Набор (О; ), где О – некоторая точка прямой; прямой. О - начало координат, – базисный вектор.

Опр. Пусть (О; ) – СК, тогда =x* и число x - наз. координатой вектора ( (x)).

Пусть А ϵ ∆,тогда наз. радиусом вектора точки А.

Опр. Пусть (О; ) – СК, А ϵ ∆, тогда координатой вектора А наз. координата радиус вектора точки А.

=-2* ;A=-2; | |=1(единичный вектор).