Определения

•  — угол отклонения маятника от равновесия;

•  — начальный угол отклонения маятника;

•  — масса маятника;

•  — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

•  — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

•  — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая  , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной  . Величина   называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии   от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен  , а момент силы тяжести относительно той же оси  . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

Энергия гармонических колебаний

        При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

        Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

        Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:   

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

        Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:

1. Полная энергия в контуре остается неизменной: 

Незатухающие колебания в колебательном контуре

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Электромагнитные колебания возбуждаются в колебательном контуре, состоящем из конденсатора C, катушки индуктивности L и омического сопротивления R. Емкость конденсатора C, индуктивность катушки L и сопротивление контура R являются параметрами колебательного контура. В идеальном колебательном контуре омическое сопротивление отсутствует. Рассмотрим, как возникают электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре.

Пусть в некоторый момент напряжение на конденсаторе равно U, а ток в катушке I. Тогда в соответствии с законами электродинамики энергия электрического поля между обкладками конденсатора будет равна

,                                                                                                              (2.2)

а энергия магнитного поля катушки выразится формулой

.                                                                                                                     (2.3)

Ток в катушке достигает максимума в тот момент, когда конденсатор полностью разрядится. Соответственно энергия электрического поля конденсатора полностью преобразуется в энергию магнитного поля катушки, которая становится максимальной – W₀m. Если контур идеальный, его полная энергия W не будет меняться и по закону сохранения энергии справедливо соотношение

,                                                                     (2.4)

где I₀ – максимальный ток катушки. Отсюда следует, что между максимальным напряжением на конденсаторе U₀ и максимальным током в катушке I₀ существует зависимость

.                                                                                                                     (2.5)

После разрядки конденсатора ток в катушке будет поддерживаться электродвижущей силой самоиндукции, постепенно уменьшаясь. Конденсатор вследствие этого будет заряжаться так, что знаки заряда на его обкладках поменяются. В момент времени, когда ток в катушке исчезнет, напряжение на катушке конденсатора станет U₀, а энергия магнитного поля катушки полностью превратится в энергию электрического поля конденсатора. Далее процесс протекает так же, как описано выше, но только в противоположном направлении. По завершении полного цикла колебательный процесс повторяется.

Получим закон изменения тока и напряжения для идеального контура. Поскольку в колебательном контуре конденсатор подключен параллельно катушке индуктивности, то напряжение на конденсаторе по закону Ома должно равняться ЭДС самоиндукции: U_С = e _l. То есть

,                                                                                                                     (2.6)

где q – заряд на обкладке конденсатора. Учтем, что по определению сила тока есть

.                                                                                                                             (2.7)

Подстановкой (2.7) в равенство (2.6) после простых преобразований получим

,                                                                                                                 (2.8)

где величина

,                                                                                                                         (2.9)

является квадратом циклической частоты колебаний w . Дифференциальное уравнение (2.8) есть уравнение незатухающих колебаний. Зависимость от времени величины заряда на пластинах конденсатора q (t),удовлетворяющая (2.8) является его решением. Подстановкой можно убедиться, что решением (2.8) является зависимость заряда от времени вида

,                                                                                                 (2.10)

где q₀ – амплитуда колебаний заряда, j ₀ – начальная фаза колебаний. Данное уравнение описывает гармоническое колебание заряда в колебательном контуре, а циклическая частота этих колебаний w называется собственной частотой колебательного контура.

Подставив уравнение (2.10) в формулы (2.6) и (2.7), получим зависимость от времени напряжения

,                                                                                             (2.11)

и тока

,                                                            (2.12)

где U₀ = q₀ / C – амплитуда напряжения, I₀ = w q₀ – амплитуда силы тока.

Таким образом, напряжение и ток в колебательном контуре изменяются по гармоническому закону.