Определение

В механике можно ввести понятие работы, исходя из довольно простых представлений^[2]

Работа силы (сил) над одной точкой

• Работа нескольких сил определяется естественным образом как работа их равнодействующей (их векторной суммы). Поэтому дальше будем говорить об одной силе.

• При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения:

Здесь точкой обозначено скалярное произведение,    — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила   постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.

Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл:

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений   если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат, интеграл определяется следующим образом:

,

где   и   — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.

• Cледствие: если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.

Работа силы (сил) над системой или неточечным телом

Работа сил над системой материальных точек определяется как сумма работ этих сил над каждой точкой (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в суммарную работу этих сил над системой).

Даже если изначально тело не является системой дискретных точек, можно разбить его (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых считать материальной точкой, вычисляя работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл.

• Эти определения могут быть использованы как для конкретной силы или класса сил — для вычисления именно их работы отдельно, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

Схема рассуждений такова: 1) попробуем записать работу, совершаемую всеми силами, действующими на материальную точку и, пользуясь вторым законом Ньютона (позволяющим выразить силу через ускорение), попытаться выразить ответ только через кинематические величины, 2) убедившись, что это удалось, и что этот ответ зависит только от начального и конечного состояния движения, введём новую физическую величину, через которую эта работа будет просто выражаться (это и будет кинетическая энергия).

Если   — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ совершенных приложенными к частице силами, то она выражается как:

где   называется кинетической энергией. Для материальной точки, кинетическая энергия определяется как работа силы, ускорившей точку от нулевой скорости до величины скорости   и выражается как:

Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Потенциальная энергия

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая  , такая что

Если все силы, действующие на частицу консервативны, и   является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий соответствующих каждой силе, тогда:

.

Этот результат известен как закон сохранения механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы,

является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.