Завдання для розв’язування.
Обчислити ранг матриці:
а)
|
б)
|
;
;
ТЕМА 4: Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера.
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:
(*).
Означення
.
Розв’язком
СЛАР (*) називається упорядкована множина
дійсних чисел
,
яка при підстановці у систему замість
невідомих перетворює її в систему
тотожностей (систему правильних числових
рівностей).
Матричний метод
Позначимо:
,
,
.
Тут:
–
матриця коефіцієнтів при невідомих
(основна матриця системи);
– матриця-стовпець
невідомих;
– матриця-стовпець
вільних членів (правих частин).
Тоді СЛАР (*) можна записати у вигляді матричного рівняння:
.
Якщо
,
то існує
.
Домножимо обидві частини матричного
рівняння зліва на
.
Одержимо:
,
,
.
Отже, справедлива наступна
Теорема.
Якщо визначник основної матриці
СЛАР (*) відмінний від нуля
,
то система має єдиний розв’язок, який
знаходиться як добуток оберненої до
матриці
на матрицю–стовпець вільних членів
.
Приклад. Розв’язати за допомогою оберненої матриці СЛАР:
.
Розв’язування.
1. Позначимо:
– матриця
коефіцієнтів при невідомих;
– матриця-стовпець
невідомих;
– матриця-стовпець
вільних членів.
2. Запишемо систему у вигляді матричного рівняння .
3.
Обчислимо
:
система має єдиний розв’язок. Оскільки
,
то існує обернена матриця
.
Знайдемо її:
Отже,
.
Таким чином,
.
Відповідь:
,
.
Метод Крамера.
Означення
.
Основним
визначником
СЛАР (*) називається визначник
матриці
коефіцієнтів при невідомих
.
Справедлива наступна
Теорема
(правило Крамера).
Якщо основний визначник СЛАР (*)
,
то система має єдиний розв’язок, який
знаходиться за формулами:
;
;
…;
,
де
визначники
отримуємо із
заміною
-го
стовпця коефіцієнтів при невідомій
на стовпець вільних членів.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь за правилом Крамера.
.
Розв’язування.
,
.
Оскільки , то система має єдиний розв’язок, що знаходиться за правилом Крамера:
,
.
;
.
Перевірка:
.
Відповідь:
.
Завдання для розв’язування.
Розв’язати системи рівнянь матричним методом та за правилом Крамера:
-
а)
;б)
;
Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (СЛАР):
(**)
Означення. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. У супротивному випадку система називається несумісною.
Позначимо:
;
.
Тут
– основна матриця системи,
– розширена матриця системи.
Теорема Кронекера-Капеллі (критерій сумісності системи лінійних рівнянь). СЛАР (**) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці:
.
Наслідок.
Якщо у сумісної
системи
(
– кількість невідомих), то розв’язок
єдиний і таку систему називають
визначеною,
а якщо
,
то система має безліч розв’язків
(невизначена).