8.2. Способы организации единичного жребия

Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления, например: один «обстрел» цели», один «день работы» транспорта, одна «эпидемия» и т.п.

Реализация представляет собой как бы один случай осуществления моделируемого случайного явления (процесса) со всеми присущими ему случайностями. Она разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль играет собственно «розыгрыш» или бросание жребия». Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, её влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия.

Предположим, что в ходе моделируемого процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит и результат) зависит от того, появилось ли на данном этапе событие А или не появилось (например: произошло ли попадание в цель, обнаружен ли некоторый объект, исправна ли некоторая аппаратура и т.д). Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: появилось событие А или не появилось? Для этого нужно привести в действие некоторый случайный механизм розыгрыша (бросить игральную кость, несколько монет или выбрать число из таблицы случайных чисел) и условиться о том, какой результат жребия означает появление, а какой – непоявление события А). Ниже мы увидим, что розыгрыш всегда можно организовать так, чтобы событие А имело любую наперед заданную вероятность. Кроме событий, появляющихся случайным образом, на ход и исход операции могут так же влиять разные случайные величины (время, координаты и т.д.). С помощью жребия можно разыграть значения любой случайной величины или совокупность значений нескольких случайных величин. Условимся называть единичным жребием любой элементарный опыт, в котором решается один из вопросов:

1. Произошло или не произошло событие А?

2. Какое из возможных событий А₁,А₂,…А_k произошло?

3. Какое значение приняла случайная величина Х?

4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин Х₁,Х₂,…Х_k?

Рассмотрим способы организации всех разновидностей единичного жребия. При любой организации жребия должен быть пущен в ход какой-то механизм случайного выбора. Механизмы могут быть самыми разнообразными, однако любой из них может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну задачу: получить случайную величину, распределенную с постоянной плотностью от 0 до 1. Условимся для краткости называть такую случайную величину «случайное число от 0 до 1» и обозначать R.

1. Появилось или нет событие а?

Пусть вероятность события А равна p: Р(А)=р. Выберем с помощью стандартного механизма случайное число R и будем считать, что если оно меньше р, событие А произошло, если больше р – не произошло. Действительно: если R – случайное число от 0 до 1, то , где f(r)=1 при 0<r<1 или

.

2. Какое из нескольких возможных событий появилось?

Пусть имеется полная группа несовместных событий: А₁,А₂,…А_k с вероятностями р₁,р₂,…р_k. Т.к. события несовместны и образуют полную группу, то р₁+р₂+…+р_k=1. Разделим весь интервал от 0 до 1 на k участков длиной р₁,р₂,…р_k.

Если случайное число R, выданное стандартным механизмом, попало, например, на участок р₃, это означает, что появилось событие А₃.