7.4. Кусочно-линейные агрегаты

Как показывает анализ моделирующих алгоритмов, можно добиться их существенных упрощений, если рассматривать объекты чуть более частные, чем агрегат общего вида, но сохраняющие такую важную его особенность, как возможность описания достаточно широкого класса реальных систем. Практически удобным для формализации чрезвычайно широкой совокупности разнообразных процессов и явлений материального мира являются так называемые кусочно-линейные агрегаты (КЛА), к описанию которых мы и приступим.

7.4.1. Понятие о кусочно-линейном агрегате.

Для поставленных здесь задач достаточно считать, что на агрегат не поступают управляющие сигналы u, а поступают лишь входные сигналы x (не ограничивает общности, в качестве x можно рассматривать входной сигнал в широком смысле ( )). Итак, мы рассматриваем агрегат как объект, который в каждый момент времени t характеризуется внутренним состоянием z(t), имеет вход и выход. На вход агрегат в изолированные моменты времени могут поступать сигналы, с выхода могут сниматься выходные сигналы. Класс кусочно-линейных агрегатов выделяется с помощью конкретизации структуры множеств Z,X,Y а также операторов H и G. Опишем данную конкретизацию.

Рассмотрим некоторое конечное или счетное множество I. Для определенности предположим, что I={0,1,2,…}, хотя в конкретных задачах I может иметь и другой вид. Назовем I-множеством основных состояний, а элементы I – основными состояниями. Каждому основному состоянию I поставим в соответствие некоторое целое неотрицательное число ||||, которое назовем рангом основного состояния. Кроме того, каждому I поставим в соответствие выпуклый многогранник Z^() в евклидовом пространстве размерности ||||. Будем считать, что Z=UZ^(), т.е. пространство состояний Z можно представить состоящим из всевозможных пар вида ( ), где I, а z^() является вектором размерности |||| и принимает значения из многогранника Z^(). Вектор z^() будем называть вектором дополнительных координат. Если ||||=0 для некоторого I, то это означает, что в данном состоянии  дополнительные координаты не определяются.

7.4.2. Процесс функционирования кла.

Опишем сначала динамику КЛА, т.е. процесс изменения внутренних состояний во времени, в предположении отсутствия поступления x. В предыдущей терминологии, определим действия оператора U. Пусть в начальный момент времени t₀ агрегат находится в состоянии z(t₀)=(,z^()(0)), где z^()(0)- внутренняя точка многогранника Z^(). Тогда при t>t₀ точка z^()(t) перемещается внутри многогранника Z^() до тех пор, пока не достигнет его границы. Пусть это произойдет в момент t₁, который назовем «опорным». Тогда при t₀<tt₁, t=t-t₀ «движение» агрегата описывается следующими законами:

(t)==const (7.29),

данному значению  соответствует вектор ^() размерности |||| и

z^()(t)=z^()(0)+t^(). (7.30)

Значение опорного момента t₁ определяется траекторией z(t), вернее её некоторыми параметрами и может быть найдено из соотношения

t₁=inf{t:z^()(0)+(t-t₀)^()Z^(), t>t₀}, (7.31)

поскольку Z^() многогранник, то нахождение t₁ по (7.31) сводится к следующему. Пусть - j-тая грань многогранника Z^() (предположим, что Z^() содержит m() граней). Эти грани могут быть заданы линейными уравнениями:

j=1,… m() , (7.32)

где z_i^() – компоненты вектора z^(), i=1.. ||||. Легко понять, что (7.32) может быть записано в виде

или

Обозначим , j=1,…m() (7.34)

Пусть =min{_j;_j>0} (7.35)

Тогда из (7.33-7.35) следует, что t₁=t₀+ (7.36)

В момент t₁ состояние рассматриваемого кусочно-линейного агрегата изменяется скачкообразно. Значение z(t₁+0) является случайным, задаваемым распределением P₁, которое зависит лишь от состояния z(t₁). В момент t₁ может выдаваться выходной сигнал (см. оператор G). Содержание (и необходимость выдачи) y зависит от состояния z(t₁). Подмножество Z_y, введенное в общем определении агрегата, в данном случае совпадает с . Для нас важно, указать, что множество Y имеет структуру, аналогичную Z, т.е. выходные сигналы y представляются y=(,y^()), где -элемент некоторого не более чем счетного множества, y^() – вектор, принимающий значения из евклидова пространства размером, зависящим от . При t>t₁ движение агрегата вновь происходит в соответствии с формулами (7.29) и (7.30) до очередного «особого» момента t₂, где под t нужно понимать теперь t-t₁ и т.д. Обратимся теперь к случаю поступления входного сигнала. Подчеркнем, что для КЛА множество X структурно аналогично множествам Z и Y, т.е. x=(,x^()), где -элемент конечного или счетного множества, а x^()- действительный вектор, размерность которого зависит от . Следующее описание поведения КЛА можно рассматривать как раскрытие действия оператора V^’.

Пусть в рассматриваемый момент t состояние агрегата z(t)=(,z^()) и пусть в этот момент поступает входной сигнал x=(,x^()). При этом состояние агрегата меняется скачкообразно. Значение z(t+0) является случайным, задаваемым распределением P₂, которое, вообще говоря, зависит от z(t) и x. Будем считать, что в рассматриваемый момент может выдаваться выходной сигнал, содержание и необходимость выдачи которого зависит не только от состояния z(t) (и, быть может, z(t+0)), но и от содержания поступившего входного сигнала x. После рассматриваемого момента времени t движение агрегата происходит в соответствии с формулами (7.29) и (7.30) до следующего момента поступления входного сигнала или выхода вектора состояния на границу допустимых значений.

Динамика КЛА описана полностью. В виде КЛА могут быть формализованы многие реальные процессы: процессы передачи и обмена данными в сетях связи, системы массового обслуживания и материально-технического снабжения, процессы автомобильного движения на дорогах, разнообразные дискретные производственные процессы, вычислительные системы и т.д. При этом всюду основные состояния агрегата указывают на качественно различные состояния моделируемых объектов. Дополнительные же координаты характеризуют происходящие количественные изменения и часто носят сугубо вспомогательный характер, «вбирая» в себя необходимую информацию о предыстории модели. Следует отметить, что представление реальных систем в форме КЛА неоднозначно, поскольку неоднозначно могут быть выбраны состояния агрегатов. Выбор же состояний определяется как целями исследования, так и стремлением уменьшить размерность задачи. При этом всегда приходится идти на компромисс между точностью описания и полнотой получаемой информации с одной стороны и простотой модели – с другой.