7.2.2. Функционирование смо как агрегата

В качестве примера представления систем в виде агрегатов рассмотрим однолинейную СМО следующего вида. В моменты времени t_j, представляющие собой случайный поток однородных событий с заданным законом распределения, в систему поступают заявки, каждая из которых характеризуется параметром _j. Величина _j является случайной величиной с условным законом распределения f(/t) при условии, что t_j=t. Если линия обслуживания занята, заявка попадает в очередь и может находиться там (ждать) не более, чем

_k^(ж)=(_j,_i) (7.19)

Величина _i является случайной величиной с условным законом распределения f(/t) при условии, что _k=t. Величины _k образуют случайный поток однородных событий с заданным законом распределения, не зависимый от t_j. Заявка должна быть принята к обслуживанию не позднее, чем в момент времени t_j+_k^(ж), в противном случае она получит отказ.

Время обслуживания заявки или время занятости линии

_k^(з)=(_j,_i) (7.20)

Представим эту СМО в виде агрегата. Состояние агрегата будем характеризовать вектором z(t)Z со следующими компонентами:

z₁(t) – время, оставшееся до конца обслуживания заявки (для заявки, которая находится на обслуживании);

z₂(t) – значение величины _i;

z₃(t) – количеств заявок в очереди;

z₄(t) – оставшееся время ожидания первой заявки из очереди (время до момента отказа);

z₅(t) – оставшееся время ожидания второй заявки из очереди (время до момента отказа);

z_k(t) – оставшееся время ожидания последней заявки из очереди (время до момента отказа).

Входной сигнал x_j поступает в момент t_j и несет с собой информацию об _j, т.е. x_j=a_j. Управляющий сигнал g_i поступает в момент t_i и несет с собой информацию о величине _i, т.е. g_i=_i.

Рассмотрим подмножества Z_y и соответствующие им выходные сигналы y, операторы W и U.

Подмножество Z_y⁽¹⁾. Пусть в момент времени t₁:

z₁(t₁)=0; z_l(t)>0; l=3,4,…,k.

Это означает, что обслуживание заявки закончилось. Выходной сигнал y₁=(y₁⁽¹⁾,y₁⁽²⁾). Здесь y₁⁽¹⁾ – признак «заявка обслужена», y₁⁽²⁾=y₁⁽²⁾(_j,_i,t₁) – выходной параметр заявки, зависящий от _j и _i. Заметим, что случайный характер оператора G может проявляться в том, что y₁² (_j,_i,t₁) представляет собой случайную функцию _j,_i,t_1. Оператор W, определяющий состояние агрегата в момент t₁+0, задается следующим образом. Из всех z_l(t₁), где l=4,5,..k=z₃(t), выбирается наименьшее и соответствующая заявка, например номер m, mk принимается к обслуживанию со временем обслуживания (занятости канала) ⁽³⁾_m=(_m,_i). Поэтому

(7.21)

Количество заявок в очереди уменьшится на 1: z₃(t₁+0)=z₃(t₁)-1 (7.22), а величина z_m(t₁+0) не определяется. Все остальные z_l(t₁+0) при l=4,5,..(за исключением z_m)

z_l(t₁+0)= z_l(t₁) (7.23)

Оператор U, определяющий состояния агрегата для моментов времени t>t₁ (до последующего особого состояния) имеет вид

z ₁(t)=z₁(t₁+0)-(t-t₁)

z₂(t)=z₂(t₁+0)=const

z₃(t)=z₃(t₁+0)=const (7.24)

z₄(t)=z₄(t₁+0)-(t-t₁)

............…………

z_k(t)=z_k(t₁+0)-(t-t₁)

Подмножество . Пусть в момент времени t₂:

z₁(t₂)>0; z₃(t₂)>0, z_m(t₂)=0, 4mk

Это означает, что время ожидания одной из заявок в очереди истекло. Поскольку заявка до момента t₂ не была принята к обслуживанию, она получает отказ. Выходной сигнал y₂=(y₂⁽¹⁾,y₂⁽²⁾). Здесь y₂⁽¹⁾ представляет собой признак «заявка получила отказ», y₂⁽²⁾= y₂⁽²⁾(_j,_i,t₂) – выходной параметр заявки. Оператор W в момент t₂+0 описывается соотношениями:

z ₁(t₂+0)=z₁(t₂)

z₂(t₂+0)=z₂(t₂

z₃(t₂+0)=z₃(t₂)-1 (7.25)

............…………

z_l(t₂+0)=z_l(t₂) l=4,5,..k lm

В еличина z_m(t₂+0) не определяется. Оператор U_{( )} для моментов времени t>t₂ определяется равенствами.

z₁(t)=z₁(t₂+0)-(t-t₂)

z₂(t)=z₂(t₂+0)=const

z₃(t)=z₃(t₂+0)=const (7.26)

............…………

z_l(t)=z_l(t₂+0)-(t-t₂) ) l=4,5,..k lm

Подмножество . В момент времени t₃: z₁(t₃)=0, z₃(t₃)=0. Это значит, что очередь заявок отсутствует, и обслуживание закончилось в момент t₃. Выходной сигнал y₃=(y₃⁽¹⁾,y₃⁽²⁾). Здесь y₃⁽¹⁾ – признак «система свободна», а y₃⁽²⁾=t₃ показывает момент освобождения системы. Оператор W: z₁(t₃+0)=0; z₃(t₃+0)=0; другие z_l не определяются. Оператор для всех t>t₃ задается соотношениями: z₁(t)=0, z₃(t)=0; z_l(t) при l>3 не определяются (до следующего особого состояния).

Пусть теперь в момент t_j поступает входной сигнал x_j=_j (заявка с параметром _j). Оператор V имеет следующий вид. Если входной сигнал поступил после выходного сигнала y₃ (действовал оператор ) , то это означает, что система была свободной, и заявка сразу поступила на обслуживание с _j^(З)=(_j,_i). Поэтому

z₁(t_j+0)= _j⁽³⁾=(_j,_i) (7.27)

z₃(t_j+0)=0

…………………………….

Величины z_l(t_j+0) для l>3 не определяются. Если входной сигнал поступил после выходных сигналов y₁ и y₂, то заявка попадает в очередь, т.е.

z ₁(t_j+0)=z₁(t_j)

z₂(t_j+0)=z₂(t_j)

z₃(t_j+0)=z₃(t_j)+1

…………………. (7.28)

z_l(t_j+0)=z_l(t_j); l=4,5,..k

………………….

z_k+1(t_j+0)=_j^(ж)= (_j,_i)

В дальнейшем (оператор ) состояния z(t) определяются аналогично (7.24)

Пусть теперь в момент _i поступает управляющий сигнал g_i=_i+1. При этом изменится только значение z₂(t): вместо прежнего значения _i должно быть z₂(t)=_i+1. остальные z_l(t) не зависят от _i+1. Из этого легко усмотреть содержание операторов W и U.

На этом рассмотрение примера можно закончить. Обзор процесса функционирования такой системы массового обслуживания как агрегата дальше можно сделать самостоятельно.