5.2. Одноканальная смо с отказами

Простейшая задача. Пусть СМО состоит только из одного канала (n=1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , зависящей в общем случае от времени =(t) (5.1). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Т_об, распределенного по показательному закону с параметром  f(t)= e^-t (t0) (5.2).

Из этого следует, что «поток обслуживаний» - простейший, с интенсивностью m. Требуется найти: абсолютную (А) и относительную (q) пропускные способности.

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний: S₀ – свободен, S₁ – занят. Обозначим вероятности состояний p₀(t) и p₁(t). Очевидно:

t p₀(t)+p₁(t)=1 (5.3).

Граф состояний системы изображен на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

По графу состояний системы составим дифференциальные уравнения Колмогорова:

(5.4)

В соответствии с (5.3) одно уравнение в (5.4) лишнее. Отбросим второе уравнение, а первое перепишем с учетом (5.3):

или (5.5).

Это уравнение естественно решать при начальных условиях p₀(0)=1; p₁(0)=0. Уравнение (5.5) легко может быть решено не только для простейшего потока заявок (=const), но и для случая =(t). Приведем решение (5.5) только для случая =const: . Графически результаты решения показаны на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Результаты решения системы уравнений (5.4)

Для нашего случая вероятность p₀ есть не что иное, как q.

Действительно, p₀ есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее число обслуженных заявок к числу поступивших также равно p₀: q= p₀.

В пределе, при t, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение q будет равно .

Легко найти и А, зная q. Они связаны очевидным соотношением: . В пределе, при t, А тоже установится и будет равна .

Зная q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена) легко найти вероятность отказа: P_отк =1-q. P_отк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при t .

5.3. Многоканальная смо с отказами

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят ровно один канал, остальные свободны;

……

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…….

S_n – заняты все n каналов.

Граф состояний имеет следующий вид (рис. 5.3). Слева направо систему переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью .

Рис. 5.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Очевидно, если обслуживанием занято 2 канала, а не один, поток обслуживаний, переводящий систему по стрелке S₂S₁, будет вдвое интенсивнее (2), если занято k- каналов – в k раз интенсивнее (k). Процесс такого вида представляет собой частный случай процесса гибели и размножения. Составляем уравнения Колмогорова:

(5.6).

Уравнения (5.6) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями являются:

p₀(0)=1; p₁(0)=p₂(0)=…=p_n(0)=0

Интегрировать (6) в аналитическом виде довольно сложно, на практике решают численно с использованием ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний как функции времени: p₀(t), p₁(t), …, p_n(t).

Больше всего интересны предельные вероятности состояний, характеризующие установившийся режим работы СМО (при t). Воспользуемся готовым решением, полученным для схемы гибели и размножения:

(k=1,2,..n) (5.7).

Обозначим и будем называть величину  «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл её таков: величина  представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. С учетом этого (5.7) принимает вид:

(5.8). Формулы Эрланга.

Теперь можно найти характеристики эффективности СМО: q, А, Р_отк.

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна:

.

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же q) дополняет Р_отк до 1: q = 1-p_n. И наконец: А= q=(1- p_n).

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число . Величину можно вычислить непосредственно по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значение 0,1, …n с вероятностями p₀, p₁…p_n.

Однако значительно проще выразить через А . А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени  заявок; следовательно, среднее число занятых каналов

или .