4.3.5. Схема гибели и размножения

Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Рис. 4.5. Схема «гибели и размножения»

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.5. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₁, S₂, ..., S_n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния (S₀, S_n) — только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности — в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа,— простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс — простейшими).

Пользуясь графом рис. 4.5, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S₀ имеем:

(4.1)

Для второго состояния S₁:

В силу (4.1) последнее равенство приводится к виду

далее, совершенно аналогично

и вообще

где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р₀, p₁,..., р_n удовлетворяют уравнениям

(4.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p₀ + р₁+ р₂+…+ р_n=1 (4.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (4.2) выразим р₁ через р₀.

(4.4)

Из второго, с учетом (4.4), получим:

(4.5)

из третьего, с учетом (4.5),

(4.6)

и вообще, для любого k (от 1 до N):

(4.7)

Обратим внимание на формулу (4.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S_k), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S_k).

Таким образом, все вероятности состояний p₁, р₂, …, p_n выражены через одну из них (p₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие (4.3). Получим, вынося за скобку p₀:

отсюда получим выражение для р₀.

(4. 8)

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р₀ (см. формулы (4.4) — (4.7)). Заметим, что коэффициенты при p₀ в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (4.8). Значит, вычисляя р₀, мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.