3.2. Математические модели взаимодействия элементов сложной системы

Взаимодействие элементов в процессе функционирования сложной системы рассматривается как результат совокупности воздействий каждого элемента на другие элементы. Воздействие представленное набором своих характеристик, часто называют сигналом, т.о. взаимодействие элементов сложной системы может быть рассмотрено в рамках механизма обмена сигналами. Сигналы передаются по каналам связи между элементами. Начало данного канала – выходной полюс, конец канала – входной полюс элемента. Идеальным каналом называется канал, в котором передача сигнала осуществляется мгновенно и без искажений. Полностью и правильно формализованная система имеет только идеальные каналы связей. Физические каналы связи не являются идеальными. Такие каналы связи необходимо рассматривать как самостоятельные элементы системы (электрические соединительные провода – отдельные резисторы), функционирование которых сводится к соответствующим задержкам и искажениям сигнала. Т.о. окончательная формализация моделируемого объекта может привести к сложной системе, которая по составу элементов и конфигурации связей между ними отличается от конструкции, полученной в результате первоначальной структуризации этого объекта. При построении математической модели сложной системы необходимо учитывать взаимодействие её с внешней средой. Внешняя среда рассматривается как некоторая совокупность объектов, воздействующих на элементы сложной системы, а также испытывающих воздействия, поступающие от элементов сложной системы. Механизм обмена сигналами и формализованная схема взаимодействия элементов сложной системы между собой и с объектами внешней среды включает наборы следующих составляющих:

1. процесс формирования выходного сигнала соответствующим элементом системы;

2. определение адреса передачи для каждого выходного сигнала;

3. прохождение сигналов по каналам связи и компоновка входных сигналов для элементов системы, принимающих сигналы.

4. реагирование элементов на поступающие входные сигналы.

Первая и четвертая составляющие описываются в рамках математических моделей элементов. Третья составляющая связана с заменой реальных физических каналов идеальными. Вторая составляющая механизма обмена сигналами в сложной системе обеспечивает адресацию характеристик выходных сигналов и их компоновку во входные сигналы элементов, т.е. схему сопряжения элементов (иногда говорят структуру связности).

Схема сопряжения элементов системы. Пусть сложная система S содержит элементы C₁, C₂..C_N. Предположение 1. Элементарные сигналы передаются в системе по элементарным каналам: каждый l-ый элементарный канал, подключенный к выходу элемента С_j, способен передавать только элементарные сигналы y_l^(j), имеющие фиксированный индекс l. Внешнюю среду можно представить в виде фиктивного элемента C₀ системы S, вход которого содержит m₀ входных контактов X_i⁽⁰⁾, а выход r₀ выходных контактов Y_l⁽⁰⁾. Каждый С_j (в том числе и С₀) как элемент системы S в рамках принятых предположений о механизме обмена сигналами, достаточно характеризовать множеством входных контактов которые мы будем обозначать и множеством выходных контактов обозначаемым , где для простоты приняты обозначения m=m_j; r=r_j; j=0,1,..N.

Другими словами, математической моделью элемента С_j, используемой для формального описания сопряжения его с прочими элементами системы и внешней средой, является пара множеств: и . Для исключения неоднозначности введем предположение 2: ко входному контакту любого элемента системы подключается не более чем один элементарный канал; к выходному контакту может быть подключено любое конечное число элементарных каналов, при условии, что ко входу одного и того же элемента системы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.

Рассмотрим множество всех входных контактов всех элементов системы и внешней среды , а также всех выходных контактов . В силу второго предположения каждому входному контакту соответствует не более чем один выходной контакт , с которым он связан элементарным каналом. Поэтому можно ввести однозначный оператор =R( ) (7.4) с областью определения во множестве и областью значений во множестве , сопоставляющий входному контакту выходной контакт , связанный с ним элементарным каналом. Если в рассматриваемой системе к данному контакту не подключен никакой элементарный канал, то оператор (7.4) не определен на этом . Совокупность множеств и и оператора R будем называть схемой сопряжения элементов в системе S, а оператор R- оператором сопряжения. Оператор сопряжения можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов системы j и столбцов с номерами контактов i располагаются пары чисел (k,l), указывающие номер элемента k и номер контакта l, с которым соединен контакт . Пример такого представления приведен в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Пример представления оператора сопряжения

i j	1	2	3	4	5
0	1,1	3,1	4,1	5,1	6,2
1	0,1
2	1,3	0,2	0,3
3	1,2	2,1
4	3,2	2,1	2,2
5	2,2
6	5,2	0,4

Другой способ задания оператора R получим, если столбцы и строки таблицы нумеровать двойными номерами (j,i) и (k,l) соответственно, а на пересечениях помещать 1 для контактов и , соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае. Хотя таблицы такого рода громоздки, они не редко находят применение, т.к. представляют собой матрицы смежности ориентированных графов, вершинами которых являются контакты, а ребрами – элементарными каналы. Заметим, что соответствие между и , описываемое оператором R, не является взаимно однозначным (один и тот же выход может направляться на входы разных элементов). Рассмотрим сужение оператора R на множество , т.е. оператор R_j, определенный для данного элемента системы С_j (строка в таблице с номером j). Соответствие, описываемое оператором R_j для j=0,1,..N является взаимно однозначным, в силу второй части второго предположения. Поэтому существует однозначный обратный оператор R_j^-1, сопоставляющий каждому контакту из множества R( ) соответствующий контакт . Схема сопряжения, задаваемая множествами , и оператором R, содержит исчерпывающие сведения о соединениях элементов системы элементарными каналами.

Математическим описанием элементов сложной системы на единой концептуальной основе и построением соответствующей схемы сопряжения элементов исчерпывается проблема построения математической модели функционирования сложной системы.

Для моделирования технических систем в настоящее время успешно применяются структурные методы, теория автоматического управления, методы электрического аналогизирования, метод графов связей, метод, использующий библиотеку моделей компонентов – элементов и связей, тензорные методы и др.