1.6. Вопросы для самопроверки

1. Назовите компоненты, которые входят в общее определение понятия «модель».

2. Какими свойствами обладает модель?

3. Можно ли построить модель, отражающей свойства и характеристики некоторой другой модели?

4. По каким признакам можно классифицировать модели?

5. В чем заключаются преимущества математических моделей перед другими видами моделей?

6. Какие наиболее существенные свойства объектов моделирования влияют на классификацию математических моделей?

7. Чем отличаются модели статических объектов от моделей стационарных объектов?

8. В какой взаимосвязи находятся свойства адекватности и эффективности математических моделей?

9. Назовите общие этапы технологии математического моделирования.

2. Построение математических моделей по экспериментальным данным

2.1. Постановка задачи идентификации

Задача идентификации формулируется следующим образом. Пусть в результате каких либо экспериментов над объектом (рис. 2.1) замерены его входные X=(х₁, х₂,…х_n) и выходные переменные Y=(y₁, y₂,…y_m) как функции времени. Требуется определить вид (структуру) и параметры некоторого оператора Â, ставящего в соответствие переменные X и Y.

Рис. 2.1. Общая схема постановки задачи идентификации

В реальных условиях переменные и замеряются с погрешностью и .Чаще всего эти погрешности считаются некоррелированными и аддитивными с полезной информацией, т.е. имеют вид

x_i=x_i^ист (i=1,2…n)

y_j=y_j^ист (j=1,2…m)

Различают задачи идентификации в широком (структурная идентификация) и узком смысле (параметрическая идентификация) соответственно. В первом случае неизвестна структура и параметры оператора Â, во втором – лишь параметры этого оператора.

Таким образом, задача идентификации модели тесно связана с проведением эксперимента и обработкой экспериментальных зависимостей.

Задача параметрической идентификации сводится к отысканию таких оценок параметров математической модели Â, которые обеспечивают в каком либо смысле близость расчетных и экспериментальных значений выходных переменных при одинаковых входных . Отметим, что в общем случае необходимы измерения «m» компонент вектора , которые могут производиться при «к» повторениях эксперимента при «l» дискретных отметках времени (если идентифицируемый объект функционирует во времени). В качестве критериев количественной меры близости модели и оригинала чаще всего используются максимальные δ_у, средние m_у и среднеквадратичные δ_у величины погрешностей рассогласования расчетных и экспериментальных значений у_рi и у_эi, соответственно, т.е

_у = max | у_рi – у_эi |

m_у = 1/N  ( у_рi – у_эi ), (2.1)

,

где: i = 1, 2…, N = m + l + k - номер опыта по измерению компоненты у_эi

Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к минимизации одной из функций вида (2.1). Для минимизации могут быть использованы известные численные методы решения экстремальных задач.

Обилие существующих методов идентификации отражает разнообразие используемых математических моделей и методов их исследования. Очевидно, что идентифицировать модель детерминированного, линейного, стационарного процесса (модель считается стационарной, если её параметры либо постоянные, либо меняются медленно по сравнению со временем, необходимым для их идентификации) известной размерности, с одним входом – существенно проще, чем аналогичного стохастического процесса неизвестного порядка и степени стационарности.