30. Приведение системы уравнений к единочному базису.

31. Опреция однократного замещения

Расширенную матрицу системы записывают в таблицу Гаусса, которая имеет на два столбца больше, чем число неизвестных. Расширенные матрицы располагаются в таблице одна под другой. От одной матрицы к другой переходят с помощью преобразований Жордана:

1) выбирается ключевой элемент преобразования. В качестве ключевого элемента может быть взят любой коэффициент при любой переменной, не равный нулю. Строка и столбец, в которых он располагается, называются ключевыми;

2) элементы ключевой строки делятся на ключевой элемент;

3) ключевой столбец заполняется нулями;

4) остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника: составляется прямоугольник, в двух вершинах которого находится ключевой элемент (к.э.) и пересчитываемый элемент (п.э.); из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитается произведение элементов второй диагонали и полученная разность делится на ключевой элемент.

Если в ключевой строке (столбце) есть ноль, то соответствующий столбец (строка) при преобразовании Жордана сохраняются.

32. Симплексное преобразование. Опорные решения.

Применение математических методов в экономике приводит к необходимости отыскания неотрицательных решений системы линейных уравнений, т.е. таких, в которых

При этом особое значение имеют неотрицательные базисные решения, которые принято называть опорными решениями.

Таким образом, у опорных решений все базисные неизвестные должны иметь только неотрицательные значения.

Отсюда естественным образом получается один из способов отыскания опорных решений системы: из всех базисных решений выбрать одно, несколько или все (сколько требуется по условию задачи) неотрицательные решения (конечно, если они существуют в нужном количестве или вообще существуют).

Отсюда же видно, что число опорных решений системы может быть значительно меньше числа базисных решений, т.е. пытаться предварительно отыскать все базисные решения – не слишком благодарная работа. Еще раз отметим, что в базисном решении системы значения базисных неизвестных равны свободным членам системы, приведенной к единичному базису, и для того, чтобы базисное решение оказалось опорным, необходимо и достаточно, чтобы эти свободные члены были неотрицательными.

Поэтому задачу отыскания опорных решений системы естественно начать с того, чтобы сделать все ее свободные члены неотрицательными (для этого каждое уравнение с отрицательным свободным членом достаточно умножить на (-1)).

Далее можно воспользоваться тем же алгоритмом приведения системы к единичному базису, что и при получении базисных решений, только его следует дополнить специальным правилом выбора ключевого элемента: ключевой столбец (допустим р-й) выбирается так, чтобы он имел хотя бы один положительный элемент , и составляются отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ключевого столбца; то уравнение (пусть q-е), для которого указанное отношение оказывается наименьшим, выбирается в качестве ключевого (ключевой строки).

Таким образом

После получения исходного (первого) опорного решения системы возникает вторая задача, как последовательно перейти от него к следующему, тоже опорному решению. Оказывается, для этого можно использовать алгоритм преобразования однократного замещения, дополненный этим же правилом (1) выбора ключевого элемента.

Преобразования системы с неотрицательными свободными членами к единичному базису, а также преобразования однократного замещения (и те, и другие), при которых выбор ключевого элемента производится по указанному правилу (1), принято называть симплексными преобразованиями.

Для симплексных преобразований справедлива следующая теорема:

Ø Если все свободные члены уравнений системы неотрицательны, то после симплексных преобразований системы они останутся неотрицательными.

Сформулированная теорема подтверждает правило отыскания опорного решения методом Жордана-Гаусса, состоящее в соблюдении следующих условий:

1) все свободные члены уравнений системы должны быть неотрицательными; если есть хотя бы один отрицательный свободный член, то соответствующее ему уравнение нужно умножить на (-1);

2) в базис можно ввести только то неизвестное, у которого есть хотя бы один положительный коэффициент;

3) если при неизвестной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то неизвестная вводится в базис в том уравнении, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.