6. Метод Гаусса. Решение слау. Ранг матрицы.

Пусть дана система линейных уравнений

Коэффициенты a11,12,..., a1n, ... , an1 , b2 , ... , bn считаются заданными .

Вектор -строка н x1 , x2 , ... , xn э - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D = з A к = з a ij з , составленный из коэффициентов при неизвестных , называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.

a). Если D № 0 , то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА .

б). Если D = 0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:

Разделим все члены первого уравнения на , а затем ,умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено ,и получиться система вида:

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида :

Из последнего уравнения системы (4) находим ,подставляя найденное подставляя найденное значение в первое уравнение , находим .

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение