33. Симплексный метод решения злп.

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

6. Указать способ нахождения оптимального опорного решения

7. Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения

8. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

9. Привести задачу к каноническому виду

10. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)

11. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода

12. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается

13. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

34. Метод искусственного базиса.

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

max{F(x)=∑c_ix_i|∑a_jix_i=b_j, j=1,m; x_i≥0}.

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» Rj следующим образом:

∑a_jix+R_j=b_j, j=1,m;F(x)=∑c_ix_i-M∑R_j

При введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F = ∑c_ix_i, , а другая – для составляющей M ∑R_j Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

35. Транспортная задача. Постановка т.З.

Под названием транспортная задача объединяется широкий круг задач с единой матетической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены известным симплексным методом. Однако, обычная транспортная задача имеет большое число переменных и решение ее симплексным методом громозко. С другой стороны матрица системы ограничений транспортной задачи весьма своеобразна, поэтому для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить последовательность опорных решений, которая завершается оптимальным решением.

Общая характеристика транспортной задачи

Условие:

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах a1, a2, ... am.

Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b1, b2 ... bn.

Известны Cij , i=1,2,...m; j=1,2,...n — стоимости перевозки единиц груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью, и суммарные затраты на перевозку всех грузов являются минимальными.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы:

Исходные данные задачи могут быть представлены в виде:

вектора А=(a1,a2,...,am) запасов поставщиков

вектора B=(b1,b2,...,bn) запросов потребителей

матрицы стоимостей:

Математическая модель транспортной задачи

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются xij , i=1,2,...,m j=1,2,...,n — объемы перевозок от i-го поставщика каждому j-му потребителю.

Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:

Так как произведение Cij*Xij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны:

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат.

Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений.

Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью и имеет вид:

Вторая группа из n уравнений выражает требование удовлетворить запросы всех n потребителей полностью и имеет вид:

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок математическая модель выглядит следующим образом:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарынм запросам потребителей, т.е.:

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а модель задачи закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а модель задачи — открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные задачи X=(x_ij), i=1,2,...,m; j=1,2,...,n, удовлетворяющие системе ограничений (цифра 2 на математической модели) , (3), условиям неотрицательности (4) и обеспечивающие минимум целевой функции (1)