Линейная алгебра

1. Матрица. Определение. Виды матриц.

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

• Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

• Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

• Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

• Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

• Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

• Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

• Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

• Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

• Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .

2. Действия над матрицей. Определители. Вычисление определителей.

2. Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

3. Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

4. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

5. Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Определитель.

Пусть A = (aij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.