4.6. Контрольні питання
Що називають розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
Наведіть означення сумісної та несумісної СЛАР.
Яку СЛАР називають визначеною, а яку невизначеною?
Які СЛАР називають еквівалентними?
Перерахуйте елементарні перетворення над СЛАР.
Поясніть, яку СЛАР називають погано обумовленою, а яку добре обумовленою.
Наведіть теорему Кронекера-Капеллі та два її наслідки.
В якому випадку СЛАР не має розв’язку, має один розв’язок, або має більше одного розв’язку?
Наведіть класифікацію методів розв’язання СЛАР.
Які методи розв’язання СЛАР називають точними? Перерахуйте кілька точних методів.
Наведіть загальний алгоритм розв’язання СЛАР за формулами Крамера. Які переваги та недоліки цього методу?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом Гаусса. Які переваги та недоліки цього методу?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом головних елементів. Чим даний метод відрізняється від методу Гаусса?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом Гаусса-Жордана. Які переваги та недоліки цього методу?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за схемою Халецького. В яких випадках доцільно застосовувати цю схему?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом квадратних коренів. Коли застосовують даний метод та в чому його переваги?
Які методи розв’язання СЛАР називають наближеними? Наведіть приклади наближених методів.
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом простої ітерації. Коли застосовують даний метод та в чому його переваги?
Наведіть умови збіжності ітераційного процесу розв’язання СЛАР.
Яким чином оцінюють похибки методу ітерацій?
Наведіть алгоритм розв’язання СЛАР за методом Зейделя. В чому його переваги та недоліки?
Наведіть умови збіжності процесу Зейделя?
Наведіть рівняння оцінки похибки розв’язання СЛАР за методом Зейделя.
Наведіть загальний алгоритм приведення системи лінійних рівнянь до вигляду, який зручний для ітерацій.
Наведіть порівняльний аналіз відомих Вам методів розв’язання СЛАР.
4.7. Завдання
Задача 1. Реалізувати універсальний алгоритм розв’язання СЛАР за формулами Крамера. За допомогою складеної програми розв’язати систему згідно з нижченаведеним варіантом.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Задача 2. Напишіть програму обернення матриці А (Таблиця 4.13) і розв’яжіть систему АХ=В методом Гаусса, обмежуючись трьома знаками після коми. Принявши знайдений методом Гаусса розв’язок за початкове наближення, уточненіть його до 8-9 знаків методом простої ітерації. Підрахуйте теоретично кількість ітерацій, що слід виконати для досягнення заданої точності і порівняйте їх з практично отриманими даними.
Таблиця 4.13
Вар. |
Матриця А |
Матриця В |
Вар. |
Матриця А |
Матриця В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
14 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
16 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Продовження таблиці 4.13
Вар. |
Матриця А |
Матриця В |
Вар. |
Матриця А |
Матриця В |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
18 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
20 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
22 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
24 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
26 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
28 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|
|
30 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3. Принявши знайдений методом Гаусса розв’язок попередньої задачі за початкове наближення, виконайте уточнення розв’язку до 8-9 знаків методом Зейделя. Підрахуйте теоретично кількість ітерацій, що слід виконати для досягнення заданої точності і порівняйте їх з практично отриманими даними. За яким з ітераційних методів розв’язок отримано з меншою кількістю ітерацій?
Задача 4. За методом головного елементу, розв’язати системи рівнянь:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Задача 5. Напишіть програму розв’язання СЛАР СХ=D. Для несиметричної матриці С (таблиця 4.14) застосуйте схему Халецького, а для симетричної – методом квадратних кореней.
Таблиця 4.14
Вар |
Матриця С |
Матриця D |
Вар |
Матриця С |
Матриця D |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
Продовження таблиці 4.14
Вар |
Матриця С |
Матриця D |
Вар |
Матриця С |
Матриця D |
||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
14 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
16 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
18 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
20 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
22 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
24 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
26 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
28 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
29 |
|
|
30 |
|
|